ある点の軌跡　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

左図のような△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上の任意の 　位置に点Ｐをとる。 　　いま点Ｐが辺ＡＣに平行に動き、辺ＢＣとぶつかっ 　たら進路を変更して、今度は辺ＡＢに平行に動く。 　　辺ＡＣにぶつかったら、さらに進路を変更して、辺 　ＢＣに平行に動く。 　　このように点Ｐは、△ＡＢＣ内を各辺に平行に動き 　点Ｐに戻ったら、動きを停止するものとする。

　最初この問題を見たとき、「点Ｐは、永遠に三角形内を動き続けるのでは？」と思ったが、
「平行」という条件がすこぶる厳しく、意外に、はやく収束するのには驚かされた。

	結果は、左図の通りで、点Ｐが辺ＡＢの中点でな 　ければ、辺と ６ 回目にぶつかる時点で、元の点Ｐ 　にかえる。　（中点の場合は、３回目で元の点にかえる。） 　 　（検証）　　 ＡＰ：ＢＰ＝ＣＰ１：ＢＰ１ 　　　　　　ＣＰ１：ＢＰ１＝ＣＰ２：ＡＰ２ 　　　　　　ＣＰ２：ＡＰ２＝ＢＰ３：ＡＰ３ 　　　よって、ＡＰ：ＢＰ＝ＢＰ３：ＡＰ３
同様にして、ＡＰ３：ＢＰ３＝ＢＰ６：ＡＰ６　なので、ＡＰ：ＢＰ＝ＡＰ６：ＢＰ６ から、Ｐ６＝Ｐ

　　上記の比の計算は、左図のように考えれば、分か
　りやすいかもしれない。

　　　△ＯＰＰ５∽△ＯＰ'２Ｐ'３　であることが直ちに了
　解できるので、確かにＰ６とＰは一致する。


　　また、点Ｐが元の点にかえるまでに描く軌跡の長
　さは、△ＡＢＣ の周の長さに一致するということも、
　図から明らかであろう。





（追記）　上記のような問題を、今度は正方形について考えてみよう。上記では、「平行」に
　　　　　移動したが、正方形の場合は、正方形内を任意の方向に直線的に移動し、正方
　　　　　形の辺にぶつかったら、反射（入射角と反射角は等しい）により、移動する向きを
　　　　　変えるものとする。

　例えば、次のように移動する。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　点Ｐ を出発した点が、元の点Ｐ に戻れる確率は、上記の平行移動とは違って、著しく低
いように感じる。事実、その確率は、０ であって、元に戻れたとしたら、それは稀有な偶然
が起こった場合のみである。それ故に、ビリヤードは面白いのだろう。

　それでは、元の点に戻れる場合とは、どのような条件を満たす場合であろうか？

一つ例示をして、考えてみよう。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　上図の場合、５回反射して、元の点 Ｐ に戻っているが、その状況を詳しく分析すると、次
のようになっているものと考えてよい。

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　すなわち、上記のような格子を考え、点Ｐと同様な位置にある２点を結ぶ直線上を移動す

る場合のみ、元の点 Ｐ に戻る。

　このように考えると、元の点に戻る条件は、直線の傾きが有理数ということになる。

したがって、実数全体に対して、有理数の個数は少ない（？）（＝測度が０）ので、元に戻る

確率は、０ である。しかし、有理数自体は無限個あるので、元に戻る場合は、たくさん起こ

り得る。ここら辺は、確率が「０」という認識と微妙なズレがあって、面白い。

（参考文献：栗田　稔　著　問題はどう作られるか　（東京出版））