巴戦の数理
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大相撲千秋楽で同点決勝になった場合、よく行われる試合 形式が「巴戦」である。必ず決着をつけようという日本独特の 文化の賜物であろう。 サッカーＪリーグでも、欧州にはない独自の「延長Ｖゴール方 式」というものを編み出したし、甲子園の高校野球でも、延長 １８回で決着がつかなければ翌日再試合という、高校生にとっ て体力的に厳しいシステムになっている。 私たちの記憶に残る名場面も、なぜかそういう規定外でのも のが多い。日本の文化にどっぷり浸かっている証しでもある。 その点、ラグビーは、ノーサイドとともに、同点優勝がありうる。 正規の試合の中で、決着がつかなければ、両者優勝という考え 方は、清々しい。 |
Ｊリーグでは来季から延長Ｖゴール方式がなくなるようだ。高校野球でも、将来の大器を潰
さないためにも、９回までの勝負に徹するべきだと思う。
このページでは、「巴戦」の数理について調べ、その不平等さを記録として残しておきたい。
３人 Ａ、Ｂ、Ｃ による勝ち抜き戦（巴戦）は、上図のような対戦方式により行われる。初めて
２連勝する人が出現するまで、上記の対戦は続く。
Ａ、Ｂ、Ｃ の実力は互角とする。このとき、それぞれの優勝する確率は、実は等しくない。実
力が互角であっても、最初に対戦する２人（ＡとＢ）の方が優勝する確率は高い。これは、注目
すべき事実である。
従って、Ｃに入った人は、多少不利であることを自覚しなければならない。このような不平等
な試合形式で優勝者を決めるというやり方は、是非、止めた方がよい。
Ａ、Ｂ、Ｃ の優勝する確率を、それぞれ P(Ａ)、P(Ｂ)、P(Ｃ) とおく。対戦方式の特性から、
P(Ａ)＝P(Ｂ) で、P(Ｃ)＝１− P(Ａ)−P(Ｂ)
最初の対戦で Ａ が勝つ事象を、ａ とすると、
P(Ａ)＝P(ａ)Pａ(Ａ)＋P(ａｃ)Pａｃ(Ａ)＝(1/2)Pａ(Ａ)＋(1/2)Pａｃ(Ａ)
である。ただし、ａｃ は ａ の余事象とする。
優勝が決まるまでは毎回、対戦終了後、３人は次の３つのタイプのいずれかに分類される。
Ｘ ： 直前回の対戦で勝った人
Ｙ ： 直前回の対戦で負けた人
Ｚ ： 直前回の対戦で控えだった人
今、Ｘ、Ｙ、Ｚの人が優勝する事象を、それぞれ E、F、G とする。
毎回 Ｘ と Z が対戦する。X が勝つ事象を、ｘ とする。このとき、
P(E)=P(x)Px(E)＋P(xｃ)Pxｃ(E)=(1/2)Px(E)＋(1/2)Pxｃ(E)
P(F)=P(x)Px(F)＋P(xｃ)Pxｃ(F)=(1/2)Px(F)＋(1/2)Pxｃ(F)
P(G)=P(x)Px(G)＋P(xｃ)Pxｃ(G)=(1/2)Px(G)＋(1/2)Pxｃ(G)
ここで、Xは直前回の対戦で勝っているので、Px(E)=1、Px(F)=Px(G)=0 が成り立つ。
他方、Ｘが負けたという場合（事象としては、xｃ）において、ＸはＹに、ＹはＺに、ＺはＸに立場
が変わるので、
Pxｃ(E)=P(F)、 Pxｃ(F)=P(G)、 Pxｃ(G)=P(E)
が成り立つ。これらを、上記の３式に代入して、
P(E)=(1/2)＋(1/2)P(F)
P(F)=(1/2)P(G)
P(G)=(1/2)P(E)
よって、P(E)=4/7、P(F)=1/7、P(G)=2/7 となる。
ところで、E、F の定義から、明らかに、Pａ(Ａ)=P(E)、Pａｃ(Ａ)=P(F) が成り立つので、
P(Ａ)=(1/2)P(E)＋(1/2)P(F)=5/14
同様にして、 P(Ｂ)=5/14、 P(Ｃ)=4/14 が成り立つ。
（別解） 今、機会があって上記解答を眺めていると、その煩雑さに気が滅入る。決して
難しいことを述べてはいないが、一般の方向けとはいい難い。次のように解答を
整理してみた。
Ａ、Ｂ、Ｃ の３人のうちの２人甲と乙が対戦し、甲が勝ったときに乙が優勝する
確率をＰとおく。まず、Ａが優勝する確率は、
ＢとＣに勝つとき ・・・・・ １/２×１/２＝１/４
Ｂに勝ってＣに負けるとき ・・・・・ １/２×１/２×Ｐ＝Ｐ/４
Ｂに負けるとき ・・・・・ １/２×Ｐ＝Ｐ/２
より、 １/４＋Ｐ/４＋Ｐ/２＝１/４＋３Ｐ/４
Ｂが優勝する確率は、Ａと同じで、１/４＋３Ｐ/４
Ｃが優勝する確率は、
ＡとＢに勝つとき ・・・・・ １/２×１/２＝１/４
ＡとＢのどちらかに勝って、他方に負けるとき ・・・・・ １/２×１/２×Ｐ＝Ｐ/４
より、 １/４＋Ｐ/４
したがって、（１/４＋３Ｐ/４）＋（１/４＋３Ｐ/４）＋（１/４＋Ｐ/４）＝１ より、
７Ｐ/４＝１/４ すなわち、Ｐ＝１/７
これから Ａ、Ｂ、Ｃ が優勝する確率は、それぞれ ５/１４、５/１４、４/１４ となる。
（別解証明 終）
（追記） 平成２９年９月１日付け
直接的に次のようにも計算できる。
P(Ａ)＝（１/２2＋１/２5＋・・・）＋（１/２4＋１/２7＋・・・）＝５/１４
同様に、P(Ｂ)＝５/１４ なので、P(Ｃ)＝４/１４
このように巴戦の場合、最初に取り組む２人が他の一人よりも絶対的に有利である。
Ａ、Ｂ、Ｃの強さが同じと仮定するとき、優勝が決まるまでの取組数の期待値は、
２取組で優勝が決まる確率 １/２2＋１/２2＝１/２
３取組で優勝が決まる確率 １/２3＋１/２3＝１/４
４取組で優勝が決まる確率 １/２4＋１/２4＝１/８
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
なので、 Ｓ＝２×（１/２）＋３×（１/４）＋４×（１/８）＋・・・・ とおくと、
２Ｓ＝２＋３×（１/２）＋４×（１/４）＋・・・・ より、
Ｓ＝２＋（１/２）＋（１/４）＋・・・・＝２＋（１/２）/（１−１/２）＝３
無限に取組が続きそうであるが、取組数の期待値は意外に小さく、３回である。
初めの取組でＡがＢに勝ったとすると、Ａ、Ｂ、Ｃの優勝する確率は、それぞれ
４/７、１/７、２/７
となる。
私の記憶するところによれば、この「巴戦」を題材に出題された大学入試問題は、昭和６１
年度入試の神戸大学（理系）が最初ではないだろうか。次のような問題であった。
Ａ、Ｂ、Ｃ の３人で勝ち抜き戦を行う。３人の戦力は同等である。第１回戦で、ＡとＢが対戦
し、その勝者が第２回戦でＣと対戦する。もし、Ｃが負ければ、ＡかＢが連勝したことになり、
優勝が決まるものとする。もし、Ｃが勝てば、第１回戦の敗者が第３回戦でＣと対戦する。以
下これを繰り返し、誰かが２連勝したところで優勝が決まるものとする。このとき、次の各問
に答えよ。
（１）第１回戦でＢが勝ち、第２回戦でＣが勝ち、第３回戦ではＡが勝った場合を、ＢＣＡ
のよう
に表すことにする。このような表し方で、第１回戦から第７回戦までにＡが優勝する場合を
全て書け。
（２）第ｎ回線までに優勝が決まらない確率を求めよ。
（３）第ｎ回線までに、Ｃが優勝する確率を Ｐｎ とするとき、ｌｉｍ Ｐｎ の値を求めよ。
問題の難易度レベルとしては、標準程度である。
答は、（１） AA、ACBAA、BCAA、BCABCAA の４通り
（２） （１/２）ｎ−１
（３） Ｐ３ｋ＝Ｐ３ｋ＋１＝Ｐ３ｋ＋２＝（２/７)(１−(１/８)ｎ) より、ｌｉｍ Ｐｎ＝２/７
実際の計算は、読者のための練習問題として残しておこう。
（参考文献：玉置光司 著 基本確率（牧野書店））
この話題の関連として、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんから、「七人の侍
と選抜野球大会」と題して、ご投稿いただいた。（平成２８年１月９日付け）
七人の侍が最強を決めるため、剣道によるリーグ戦を実施した。実力伯仲のため、特定
の３人では三つ巴状態（三竦み）が起こったりもした。すべての試合では引き分けはないも
のとして、7Ｃ3＝35（組）中、三竦みは最大いくつ起き得るか？
また、甲子園での選抜高等学校野球大会（参加校３２校）を、トーナメントからリーグ戦に
て戦った場合、引き分けが起こらないとして、32Ｃ3＝４９６０（組）中、三竦みが最大いくつ起
き得るか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月１０日付け）
適当にプログラムを作って調べただけですが、「A006918」のようですね。つまり、7人なら、
最大35組中14組、32校なら、最大4960組中1360組。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月１０日付け）
一般に、n人が参加するリーグ戦では「三竦み」が起こり得る最大数a(n)は、
ｎが奇数のとき、 a(n)=(n-1)*n*(n+1)/24
ｎが偶数のとき、 a(n)=(n-2)*n*(n+2)/24
と、微妙に奇数と偶数では異なることになるんですね。適当にプログラムを組めば、この数列
を導けるとは羨ましいです。
私は手作業で6人の場合まで三竦みを拾い上げ（約半日を要す。）やっとこのものに辿り着
きました。しかし、Sloane氏の整数列大辞典には、どんなタイプの問題の解答も載せてあるも
のです。（いい仕事してますね。）
（コメント） ４人が参加するリーグ戦では「三竦み」が起こり得る最大数a(n)は、公式によれ
ば、 a(４)=(4-2)*4*(4+2)/24=2 となるんですね。
Bruno Berselli（２０１１）さんの結果を参考に、ＧＡＩ さんの２つの場合を一つにま
とめると、 a(n)=n(2(n-2)(n+2)-3(-1)n+3)/48 となるようです。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年６月１７日付け）
興味深い問題ですね。この「七人の侍と選抜野球大会」問題は、2004年 ポーランド数学オ
リンピックのファイナルラウンドでも出題された問題のようです。参考までに。