Ｔａｙｌｏｒ展開
いろいろな関数を、整級数で表すひとつの方法として、Ｔａｙｌｏｒ展開がある。この展開は、
平均値の定理の一般化である「Ｔａｙｌｏｒの定理」から得られる。
Ｔａｙｌｏｒ展開そのものは単純であるが、その力は絶大である。近似式の計算など活躍する
場は多い。私が高校時代に、この展開を知って一番感動的だったのは、極限値の計算に
おいてである。
例 次の極限値を求めよ。
この極限値は、ロピタル（ｄｅ ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ）の定理を用いると、次のように計算される。
ところが、関数 ｓｉｎ Ｘ の Ｘ＝０ におけるＴａｙｌｏｒ展開
を知っていれば、上記の極限値の計算は、難しい計算をしなくても即答できる。
（追記） 当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、平成２４年２月１５日付けで、ＨＮ「ethanhunt」さ
んが質問を書き込まれた。
| テーラー展開を勉強中のものです。 | |
が、テイラー展開により、 |
簡明にわかるとのことですが、いったいどう考えれば”簡明”にわかりますか？
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんにご回答いただきました。
（平成２４年２月１５日付け）
テイラー展開により、
ランダウの記号を使うと、 ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ3/6＋ｏ（ｘ3） と書けます。このｏ（ｘ3）の意味
は、ｘ3 より速く0に収束する（ｘ3 より高位の無限小）という意味です。すなわち、
ｓｉｎｘ＝ｘ−ｘ3/6＋R(ｘ) とすると、limｘ→0 (R(ｘ)/ｘ3)＝0 という意味です。
これらが成り立つことを主張するのがテイラーの定理ですが、その証明はどこか
で学習してもらうとして省略します。
(ｘ-ｓｉｎｘ) / ｘ3＝[ ｘ-{ｘ-ｘ3/6+ｏ（ｘ3）} ] / ｘ3＝1/6 + (ｏ（ｘ3）/ ｘ3) → 1/6
．．．こんな感じでしょうか。
（コメント） ランダウの記号を持ち出さなくても、
（ｘ−ｓｉｎｘ）/ｘ3＝1/6＋ｘ2/24＋・・・ から、軽い気持ちで、ｘ → ０ のとき、
1/6 に収束するという．．．雰囲気デス！
また、Ｔａｙｌｏｒ展開は、その関数の持っている性質を如実に物語ってくれる。
例 （ｅｘ）’＝ｅｘ という美しい関係式は、ｅｘ の Ｘ＝０ におけるＴａｙｌｏｒ展開
を見れば、ほとんど明らかである。
このように、Ｔａｙｌｏｒ展開の利用価値は高いが、逆に、ある関数をＴａｙｌｏｒ展開しようとする
場合、幾ばくかの困難を伴う。
第 ｎ 次導関数が簡単に類推できる場合はいいのだが、そうでない場合は、どうしたらいい
のだろうか。
いろいろな工夫が知られているが、微分方程式を利用したＴａｙｌｏｒ展開の方法がとてもエレ
ガントであると思う。九州大学大学院の入試問題（改題）を参考に、その求め方を見てみよう。
問題 次の関数の Ｘ＝０ におけるＴａｙｌｏｒ展開を求めよ。
（解）
であることから、
（１＋Ｘ2）ｆ’(Ｘ)＋Ｘ・ｆ(Ｘ) ＝ ０
という微分方程式が得られる。
この式の両辺を ｎ 回微分すると、Ｌｅｉｂｎｉｚ の定理より、
（１＋Ｘ2）ｆ(n+1)(Ｘ)＋（２ｎ＋１）Ｘ・ｆ(n)(Ｘ)＋ｎ2・ｆ(n-1)(Ｘ) ＝ ０
ここで、Ｘ＝０ を代入して、
ｆ(n+1)(０)＋ｎ2・ｆ(n-1)(０) ＝ ０
となる。ここで、ｆ(０)＝１、ｆ’(０)＝０ であることに注意して、上の漸化式より、
ｎ ＝２ｋ＋１ のとき、 ｆ(2ｋ+1)(０)＝０
ｎ ＝２ｋ のとき、 ｆ(2ｋ)(０)＝−（２ｋ−１）2・ｆ(2ｋ-2)(０)
＝･･････・・・・・・・・・・・・・・・
＝（−１）k（２ｋ−１）2（２ｋ−３）2・・・３2・１2
ただし、ｋ≧１ の自然数とする。
（厳密には、数学的帰納法による証明が必要である。）
したがって、
が求めるＴａｙｌｏｒ展開となる。
簡単な計算から、この級数の収束半径は、１ であることが分かる。