Ｓｔｅｉｎｅｒ-Ｌｅｈｍｕｓの定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　エリ・マオール著：「素晴らしい三角法の世界」（好田順治訳　青土社刊）を読んでいたら、
とても刺激的な一文に遭遇した。

　外見は易しそうに見えるが、その証明は経験のある実践者たちにさえ分からない
ことがある。

それは、例えば、次のような問題である。

　任意の三角形において、２つの内角の２等分線の長さが等しければ、その三角形
は、二等辺三角形であることを証明せよ。

　これは、角と線分の間の関係を問う問題で、その関係は、簡単とはとても言えないという
一つの例を与えている。何日間か、証明をしてみようと試みたが、うまくいかなかった。

　そんなとき、広島工業大学の大川研究室から、

　「この事実は、Steiner-Lehmus Theorem あるいは Lehmus' Theorem などといわ
　れ、有名な定理である。」

と、ご教示をいただき、さらに、次のようなホームページまで検索していただいた。
このページの作成にあたり、大いに参考になりました。大川研究室に、感謝いたします。

・　http://www.mathforum.com/epigone/geometry-college/clanflarblax
/Pine.LNX.4.10.10006221025190.11559-100000@dl2sql9.princeton.edu

・　http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/steiner-lehmus

・　http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/99/steiner-lehmus

　これらのホームページによると、この定理に関しては、６０種類以上の証明が知られてい
るとのことである。（Ｂｉｌｌ　Ｋｌｅｉｎｈａｎｓ　による）

　それらの中から、私的に好きな、高校生でも理解できる平易な証明を紹介したいと思う。

証明（１）
　　△ＡＢＣにおいて、∠Ｂ＜∠Ｃ　とする。∠Ｂ、
　∠Ｃ の２等分線を、BD、ＣＥ とし、線分ＡＥ上
　に点Ｆを、∠ＡＢＤ＝∠ＥＣＦ となるようにとる。
　さらに、∠Ｂ＜∠ＢＣＦ より、辺ＢＦ上に点Ｇを、
　BG＝ＣＦ であるようにとれる。また、線分ＢＤ
　上に点Ｈを、GHとＦＣが平行となるようにとる。
　　このとき、明らかに、
　　　　　　　　　△ＢＧＨ≡△ＣＦＥ
　が成り立つ。よって、　ＣＥ＝ＢＨ　がいえる。
　ＢＨ＜ＢＤ　なので、したがって、
　　　　　∠Ｂ＜∠Ｃ　ならば、ＣＥ＜ＢＤ
　同様にして、
　　　　　∠Ｂ＞∠Ｃ　ならば、ＣＥ＞ＢＤ

　したがって、もし、ＣＥ＝ＢＤ　が成り立つならば、∠Ｂ＝∠Ｃ　すなわち、△ＡＢＣ　は、二
等辺三角形以外にありえない。

（注）　幾何の証明らしく、巧妙な手順で証明されている。とても、感動的だ！
　　　このような証明方法を、転換法という。

証明（２）　・・・　三角関数を用いた解法

　　△ＡＢＣにおいて、∠Ｂ＜∠Ｃ　とする。
　∠Ｂ＝２θ、∠C＝２φ　とおく。
　　△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＢＣＤ　なので、
　　２△ＡＢＣ＝ｃ・ＢＤｓｉｎθ＋ａ・ＢＤｓｉｎθ
　　　　　　　　＝（ｃ＋ａ）ＢＤｓｉｎθ
　　同様にして、
　　△ＡＢＣ＝△ＣＡＥ＋△ＣＢＥ　なので、
　　２△ＡＢＣ＝ｂ・ＣＥｓｉｎφ＋ａ・ＣＥｓｉｎφ
　　　　　　　　＝（ａ＋ｂ）ＣＥｓｉｎφ
　　このことと、ＢＤ＝ＣＥ　から、
　　　　　（ｃ＋ａ）ｓｉｎθ＝（ａ＋ｂ）ｓｉｎφ
　　すなわち、
　　　ｃ・ｓｉｎθ−ｂ・ｓｉｎφ＝ａ（ｓｉｎφ−ｓｉｎθ）
　　０°＜θ＜φ＜９０°なので、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｓｉｎφ＞ｓｉｎθ　から、ｓｉｎφ−ｓｉｎθ＞０　が成り立つ。
　よって、ｃ・ｓｉｎθ−ｂ・ｓｉｎφ＞０　すなわち、ｃ・ｓｉｎθ＞ｂ・ｓｉｎφ＞０　となる。
ところで、０°＜θ＜φ＜９０°のとき、ｃｏｓθ＞ｃｏｓφ＞０　なので、２つの不等式を、辺々か
けて、　ｃ・ｓｉｎθｃｏｓθ＞ｂ・ｓｉｎφｃｏｓφ　　から、２ｃ・ｓｉｎθｃｏｓθ＞２ｂ・ｓｉｎφｃｏｓφ　で、
すなわち、ｃ・ｓｉｎＢ＞ｂ・ｓｉｎＣ　となる。これは、ｃ・ｓｉｎＢ＝ｂ・ｓｉｎＣ　であることに矛盾する。
同様にして、∠Ｂ＞∠Ｃ　としても矛盾を得るので、ＢＤ＝ＣＥ　ならば、∠Ｂ＝∠Ｃ　である。
したがって、△ＡＢＣ　は、二等辺三角形とならなければならない。

（注）　数学�U程度の三角関数の知識が用いられているが、後半部分の論理の展開の上
　　　手さには感心せざるをえない。

（追記）　少し強引ではあるが、直接的に計算で求める方法も知られている。

証明（３）　・・・　ヘロンの公式を用いた解法

　　　ＢＤ と ＣＥ をそれぞれ∠Ｂ、∠Ｃ の二等分
　　線とする。仮定より、ＢＤ ＝ ＣＥ である。
　　　∠Ｂ＝２θ とおくと、
　　　△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＢＣＤ　なので、
　　　２△ＡＢＣ＝ｃ・ＢＤｓｉｎθ＋ａ・ＢＤｓｉｎθ
　　　　　　　　 ＝（ｃ＋ａ）ＢＤｓｉｎθ
　　　ところで、ヘロンの公式より、
　　　　△ＡＢＣ＝
　　　が成り立つ。
　　　　ただし、
　　　　　　　　
　　　とする。

　また、三角関数の半角の公式より、
　　　　　　　　　　　　　
なので、
　　　　　　　　　　　　　　

これらを、２△ＡＢＣ＝（ｃ＋ａ）ＢＤｓｉｎθ　に代入して、ＢＤ を解くと、

　　　　　　　　　　　　　　　
同様にして、
　　　　　　　　　　　　　　　

ＢＤ ＝ ＣＥ　すなわち、ＢＤ² ＝ ＣＥ²　に上式を代入して式を整理すると、

　　　　　ｃ（ａ＋ｂ）²（ａ−ｂ＋ｃ）＝ｂ（ｃ＋ａ）²（ａ＋ｂ−ｃ）

この式を展開して、

　　　　　ｃｂ³＋（ａ²＋３ｃａ）ｂ²＋（ａ³−３ｃ²ａ−ｃ³）ｂ−ｃａ³−ｃ²ａ²＝０

ｂ の方程式と見て、ｂ に ｃ を代入すると、左辺＝０　になるので、因数定理により、左辺は、
ｂ−ｃ で割り切れる。よって、左辺は因数分解されて、

　　　　　　　　　　（ｂ−ｃ)(ｃｂ²＋（ａ²＋３ｃａ＋ｃ²）ｂ＋ａ³＋ｃａ²）＝０

ここで、ａ、ｂ、ｃ は、正の数なので、ｃｂ²＋（ａ²＋３ｃａ＋ｃ²）ｂ＋ａ³＋ｃａ²≠０　である。
よって、ｂ−ｃ＝０、すなわち、ｂ＝ｃ　で、△ＡＢＣ は、二等辺三角形となる。

（注）　数学�T程度の三角関数の知識、および数学Ｂにおける方程式の理論（新学習指導
　　　要領では、数学�U）が用いられているが、計算は、相当ハードである。正直に告白する
　　　と、私自身、計算ミスを何度か経験した。


（追記）　平成２４年２月１５日付け

　空舟さんより、Steiner-Lehmus Theorem の証明について、参考サイトをご紹介いただ
きました。