立方体の展開図　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学セミナー（２００２−７月号）の中で、「立方体の展開図は、合同なもの（裏返しも含む）
を同じものとみなすと、全部で１１種類ある。」ということが述べられている。小学生の問題の
ようであるが、実は大学生にとっても手を焼くような問題であるとも書かれている。

　このページでは、その１１種類を特定する手順を紹介したい。

　まずは、正方形６個を機械的に組み合わせ、その中から立方体ができないものを削除す
る、という方針で、１１種類の展開図を手に入れようと思う。その奮闘の結果が次の一覧で
ある。



　機械的に正方形を組合せるといっても、基本は「しらみつぶし」である。漏れはないと思わ
れるが、もしありましたら、ご連絡ください。もっと上手く調べ上げる方法があったら、是非ご
教示下さい。

(参考文献：根上生也・中本敦浩　著　１対１対応を考えよう
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（数学セミナー２００２−７（日本評論社）））


（追記）　平成１９年３月８日付け

　３月７日付けで、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、Ｍｒ．Ｄさんから問いかけがあった。

「上記の機械的な組み合わせがこれしかないということの証明はできないものでしょうか。」

　この問いかけに対して、当ＨＰがいつもお世話になっている、らすかるさんが下記のように
証明された。（一部文言等補充修正させていただきました。）　らすかるさんに、謝謝！

　正方形６個の機械的組合せが３５通りしかないことの証明

　６個の正方形を含む最小の長方形の大きさによって分類する。

　まず、６個の正方形の配置は少なくとも１辺を共有する場合とし、また、左右／上下反転
・回転・裏返しは考えず、単純に位置のみで場合の数を数えることにする。

１×６ の長方形の場合　…　１通り

２×３ の長方形の場合　…　１通り

２×４ の長方形の場合　…　１８通り

　　実際に、４列のうち２列は既に２マス埋まっているので、次の場合に分けられる。
　　　（イ）　その２列が連続して中央にあるとき、　　２×２＝４通り
　　　（ロ）　その２列が連続して両端にあるとき、　　２×２＝４通り
　　　（ハ）　その２列が１列飛びにあるとき、　　２×２×２＝８通り
　　　（ホ）　その２列が２列飛びにあるとき、　　２通り
　　　　　　以上から、　４＋４＋８＋２＝１８通り

２×５ の長方形の場合　…　１６通り

　　実際に、５列のうち１列は既に２マス埋まっているので、次の場合に分けられる。
　　　（イ）　その１列が両端にあるとき、　　２×２＝４通り
　　　（ロ）　その１列が両端以外にあるとき、　　３×２×２＝１２通り
　　　　　　以上から、　４＋１２＝１６通り

３×３ の長方形の場合　…　４４通り

　　実際に、次の場合に分けられる。
　　　（１）　縦３列のうち１列及び横３列のうち１列が既に３マス埋まっている場合
　　　　　（イ）　その２列がともに端にあるとき、　　２×２×３＝１２通り
　　　　　（ロ）　縦１列が端で横１列が中央にあるとき、　　２×４＝８通り
　　　　　（ハ）　横１列が端で縦１列が中央にあるとき、　　２×４＝８通り
　　　　　（ニ）　その２列がともに中央にあるとき、　　４通り
　　　（２）　縦または横何れかの３列のうち１列のみ３マス埋まっている場合
　　　　　　その１列は中央にあり、　　２×２×３＝１２通り
　　　　　　以上から、　１２＋８＋８＋４＋１２＝４４通り

３×４ の長方形の場合　…　５０通り

　　実際に、次の場合に分けられる。
　　　　　（イ）　端の縦１列が３マス埋まっているとき、　　２×３＝６通り
　　　　　（ロ）　端以外の縦１列が３マス埋まっているとき、　　２×３×３＝１８通り
　　　　　（ハ）　２×１の２つの長方形が端で連続して１マスずれているとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４×２＝８通り
　　　　　（ニ）　２×１の２つの長方形が中央で連続して１マスずれているとき、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２×２×２＝８通り
　　　　　（ホ）　端と１列おいた列が２マス埋まっているとき、　　４×１×２＝８通り
　　　　　（ヘ）　両端の２列が２マス埋まっているとき、　　２×１＝２通り
　　　　　　以上から、　６＋１８＋８＋８＋８＋２＝５０通り

　３×３の長方形以外の場合は、縦横逆の場合もあるので、左右反転・上下反転・回転を
区別した場合の全パターン数は、

　　　　　　（１＋１＋１８＋１６＋５０）×２＋４４＝２１６通り

である。　ところで、



の各場合において、左右／上下反転・回転・裏返しを行って出来るすべての場合の数を求
める。

番号１と２７からは、２通りずつできるので、合わせて、　４通り

番号４、９、１１、１２、１５、１６、１７、１８、２１、２５、３２、３４、３５からは４通りずつできるの
で、合わせて、　１３×４＝５２通り

上記以外（番号２、３、・・・）からは、８通りずつできるので、合わせて、　２０×８＝１６０通り

　よって、　４＋５２＋１６０＝２１６通りとなり、上記の計算結果と一致する。

このことから、正方形６個を機械的に組み合わせた場合は、３５通りに限ることが示された。


（コメント）　このような証明方法は、組合せの公式を示すときに似ていて、とても新鮮でした！


（追記）　令和３年１月１４日付け

　上記の展開図１１種類を覚えるコツがあることを最近知ることが出来た。１１種類を覚えれ
ば、瞬時に展開図になるかどうかが見分けられる。

　実は、次の４パターンにまとめられる。最も多く並ぶ列は真ん中であることに注意しよう。

　上から、１個−４個−１個の型　全部で６種類（上記の１２、１３，１４、１５、１６、１７）

　上から、２個−３個−１個の型　全部で３種類（上記の２９、３０、３１）

　上から、２個−２個−２個の型　１種類（上記の３５）

　上から、３個−３個の型　１種類（上記の１８）


　カルピスさんからのコメントです。（令和３年１月１６日付け）

　立方体の展開図を頭の中だけで「立方体」に組み立てるのは大好きだけど、６面が全て異
なる色で塗られていたり、異なる文字が書かれていた場合、内側に包むか、外側に包むか
で「両者は鏡像の関係」になるのですね。

　私は、内側に包むように組み立てるは得意だけど、文字が見えるように外側に包み込む
のは苦手です。内側に包み込むなら、たとえ、面で切ってあっても分かるのに・・・

　皆様は展開図を頭の中だけで組み立てるのに、内側に包むのと外側に包むのと、どちら
がイメージしやすいですか?