シルベスター数列とは、 ａ0＝１、ａn+1＝ａ0ａ1・・・ａｎ＋１ （ｎ＝０、１、２、・・・） で定まる
数列｛ａｎ｝をいう。
ａ1＝２ 、ａn+1＝ａｎ2−ａｎ＋１ （ｎ＝１、２、・・・） という漸化式でも表される。
実際に、 ａn+1−１＝ａ0ａ1・・・ａｎ 、ａn−１＝ａ0ａ1・・・ａｎ-1 を辺々割ることにより、
（ａn+1−１）/（ａn−１）＝ａｎ すなわち、 ａn+1−１＝ａｎ（ａn−１） より、
ａn+1＝ａｎ2−ａｎ＋１ が成り立つ。
例 １，２，３，７，４３，１８０７，・・・・
このシルベスター数列は、次のような面白い性質を持つ。
１/ａ1＝１/２
１/ａ1＋１/ａ2＝１/２＋１/３＝５/６
１/ａ1＋１/ａ2＋１/ａ3＝１/２＋１/３＋１/７＝４１/４２
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・計算結果の分数の分母に１を加えると、次のシルベスター数列の項が得られる。
・計算結果の分数において、「分子＝分母−１」が成り立つ。
このシルベスター数列に関連して、富山大学前期理系（２００６）で、次のような問題が出
題された。
問 題 次の問いに答えよ。
（１） ａ、ｂ を、ａ＜ｂ、１/ａ＋１/ｂ＜１を満たす任意の自然数とするとき、１/ａ＋１/ｂ の最大
値が５/６であることを証明せよ。
（２） ａ、ｂ、ｃ を、ａ＜ｂ＜ｃ、１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＜１を満たす任意の自然数とするとき、
１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ の最大値が４１/４２であることを証明せよ。
最大値が既に与えられているので、入試問題としては標準レベルだろう。最大値が与えら
れていないと、解くのは至難だろう。
この問題を満たす ａ、ｂ、ｃ の値は、ａ＝１＋１＝２、ｂ＝１・ａ＋１＝３、ｃ＝１・ａ・ｂ＋１＝７
とすれば得られる。これらは、シルベスター数列の項になっている。
すなわち、このことは、
１を下方から近似するとき、シルベスター数列が最良の近似を与える
ということを示している。このカーティスの定理を、２項、３項の場合に示せというのが、富山
大学の問題である。
（解）（１） 不等式より、ａ≧２である。
ａ＝２ のとき、 １/ｂ＜１−１/ａ＝１/２ を満たす最大の１/ｂは、ｂ＝３のときである。
すなわち、 ａ＝２、ｂ＝３ のとき、 １/ａ＋１/ｂ＝１/２＋１/３＝５/６ である。
ａ＞２ とすると、 ｂ＞ａ≧３ である。このとき、１/ａ＜１/２ 、１/ｂ＜１/３ なので、
１/ａ＋１/ｂ＜１/２＋１/３＝５/６ より、ａ＝２、ｂ＝３ のときの値５/６を越えることはない。、
以上から、 １/ａ＋１/ｂ＜１ を満たす任意の自然数 ａ、ｂ に対して、１/ａ＋１/ｂ が最大
となるのは、ａ＝２、ｂ＝３ のときで、最大値は、５/６ である。
（２） 不等式より、ａ≧２である。
ａ＝２ のとき、 １/ｂ＋１/ｃ＜１−１/ａ＝１/２ を満たす最大の１/ｂ は、ｂ＝３ のときで
ある。すなわち、ａ＝２、ｂ＝３ のとき、 １/ｃ＜１−（１/ａ＋１/ｂ）＝１/６ である。
この式を満たす最大の１/ｃは、ｃ＝７のときである。
ａ＞２ とすると、 ｂ＞ａ≧３ である。このとき、１/ａ＜１/２ 、１/ｂ＜１/３ なので、
１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＜１/２＋１/３＋１/ｃ＝５/６＋１/ｃ＜１ より、１/ｃ＜１/６ である。
よって、ｃ≧７ である。このとき、
１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＜１/２＋１/３＋１/７＝４１/４２ より、 ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝７ のときの
値４１/４２を越えることはない。、
以上から、 １/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ＜１ を満たす任意の自然数 ａ、ｂ、ｃ に対して、
１/ａ＋１/ｂ＋１/ｃ が最大となるのは、ａ＝２、ｂ＝３、ｃ＝７ のときで、最大値は、４１/４２
である。 （終）
上記の例 １，２，３，７，４３，１８０７，・・・・ からも分かるように、シルベスター数列の項は
爆発的に大きくなる。次の性質が成り立つことが知られている。
ｎ≧２ のとき、 ２2n-2＜ａｎ＜２2n-1
例 ｎ＝２ のとき、 ２＜ａ2＜４ 実際に、 ａ2＝３
ｎ＝３ のとき、 ４＜ａ3＜１６ 実際に、 ａ3＝７
ｎ＝４ のとき、 １６＜ａ4＜２５６ 実際に、 ａ4＝４３
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以下、工事中！