三角錐の体積　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年６月８日付け）

　 三角錐ABCDが、△BCDを底面にして、机の上に置かれている。辺の長さをそれぞれ、

　　　　AB=1、AC=、AD=、BC=、BD=、CD=3

とする。このとき、三角錐ABCDの体積を求めよ。



































（答）　１/２

　よおすけさんになりかわって解いてみた。

　∠ＢＡＤ＝９０°なので、△ＡＢＤ＝/２

　また、∠ＢＡＣ＝９０°から、頂点Ｃより平面ＡＢＤに下ろした垂線の足Ｈは辺ＡＤ上にある。

　∠ＣＡＨ＝θとおくと、余弦定理より、　ｃｏｓθ＝−１/√10　なので、　ｓｉｎθ＝３/√10

　よって、△ＡＢＤを底面とする三角錐ABCDの高さは、×３/√10＝３/

　以上から、三角錐ABCDの体積は、　（/２）×（３/）×（１/３）＝１/２


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年６月１０日付け）

別解(イ)　C(0，0，0)、D(3，0，0)として、B(1，，0) としてよく、底の面積 3/2

　　　　　Aは、(1，1/，1/) を採用し、答は、V=(1/3)(3/2）(1/)=1/2

別解(ロ)　Abs[(1/6)*Det[{{0,0,0,1},{3,0,0,1},{1,Sqrt[2],0,1},{1, 1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2],1}}]]

　　　　　を、「Wolfram|Alpha」に挿入。

（参考）　「Tetrahedron」、「Volume of a Tetrahedron」

別解(ハ)　（初体験でしょうが．．．。)

　Sqrt[1/288*Det[{{0, 9, 3, 2, 1}, {9, 0, 6, 5, 1},{3, 6, 0, 1/2 + (-(1/Sqrt[2]) + Sqrt[2])^2, 1},

　　　　{2, 5, 1/2 + (-(1/Sqrt[2]) + Sqrt[2])^2, 0, 1},{1, 1, 1, 1, 0}}]]

を計算し、1/2。

（根拠）　三村征雄、志村五郎　著　代数学と幾何学（裳華房）284pを証明し、使用して下さ
　　　　　い。「Tetrahedron」や次にもSqrt[1/288*Det[云々]]　在り。此処に集う皆様、常用
　　　　　されておられますか？

（参考）　「Cayley-Menger Determinant」、「Volume of a tetrahedron」、
　　　　　 「Volume of a Tetrahedron」


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年６月１２日付け）

　S(H)さん、解答ありがとうございます。空間座標や、行列式を用いた解法は初めてみまし
た。三角比を用いない解法がないか探していたのでありがたいです。


　よおすけさんからのコメントです。（平成２４年９月２９日付け）

　私の備忘録-解析学分野の「重積分の計算」にある三角錐の体積の求め方を何となく見
ていたら、上記の問題を重積分を使って解くとなると、どんな解法になるのだろうか・・・と
思っていたところです。

　領域はx≧0、y≧0、z≧0とあと何の式が必要かな…って。本当は、高校数学�Tで習う三
角比で解ける問題を無理して重積分でやることはないが、あえて・・・。


（コメント）　題意より、

　　Ａ（０，０，０）、Ｂ（０，１，０）、Ｃ（−１/，０，３/）、Ｄ（，０，０）

と置くことができ、求める体積は、領域ＢＨＤ（Ｈは、Ｃから直線ＡＤに下ろした垂線の足）上
で、平面ＢＣＤ、平面ＡＢＣから求めることになります。
（平面の式は求めましたが、重積分で計算しようとは全く思いませんね！）