和積の公式4                                戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (令和4年10月1日付け)

 A+B+C=π、nを整数とするとき、次の等式を証明せよ。

(1)
 

(2)

 































(答)(1) nが奇数のとき、

 sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)

=2sin((nA+nB)/2)cos((nA−nB)/2)+2sin((nA+nB)/2)cos((nA+nB)/2)

=2sin((nA+nB)/2)(cos((nA−nB)/2)+cos((nA+nB)/2))

=2sin((nA+nB)/2)・2cos(nA/2)cos(nB/2)

=4sin(nπ/2)cos(nA/2)cos(nB/2)cos(nC/2)

 nが偶数のとき、

 sin(nA)+sin(nB)+sin(nC)

=2sin((nA+nB)/2)cos((nA−nB)/2)−2sin((nA+nB)/2)cos((nA+nB)/2)

=2sin((nA+nB)/2)(cos((nA−nB)/2)−cos((nA+nB)/2))

=2sin((nA+nB)/2)・2sin(nA/2)sin(nB/2)

=−4cos(nπ/2)sin(nA/2)sin(nB/2)sin(nC/2)

(2) A+B+C=π より、 nA+nB+nC=nπ すなわち、 nA+nB=nπ−nC

 このとき、 tan(nA+nB)=tan(nπ−nC)=−tan(nC) なので、

 (tan(nA)+tan(nB))/(1−tan(nA)tan(nB))=−tan(nC)

よって、

 tan(nA)+tan(nB)

=−tan(nC)(1−tan(nA)tan(nB))=−tan(nC)+tan(nA)tan(nB)tan(nC)

より、

 が成り立つ。  (終)


(コメント) △ABCにおいて、 tan(A)+tan(B)+tan(C)=tan(A)tan(B)tan(C) が
     成り立ちますが、これは私の推しの(お気に入りの)等式です!
     (→ 参考



  以下、工事中!