当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年１０月１日付け）
A＋B＋C＝π、ｎを整数とするとき、次の等式を証明せよ。
（１）
（２）
（追記） よおすけさんから追記いただきました。（令和６年１２月１日付け）
（３） 次の値を求めよ。
（ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ）/ｔａｎＣ−ｔａｎＡ・ｔａｎＢ
（答）（１） ｎが奇数のとき、
ｓｉｎ（ｎＡ）＋ｓｉｎ（ｎＢ）＋ｓｉｎ（ｎＣ）
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）ｃｏｓ（（ｎＡ−ｎＢ）/２）＋２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）ｃｏｓ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）（ｃｏｓ（（ｎＡ−ｎＢ）/２）＋ｃｏｓ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２））
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）・２ｃｏｓ（ｎＡ/２）ｃｏｓ（ｎＢ/２）
＝４ｓｉｎ（ｎπ/２）ｃｏｓ（ｎＡ/２）ｃｏｓ（ｎＢ/２）ｃｏｓ（ｎＣ/２）
ｎが偶数のとき、
ｓｉｎ（ｎＡ）＋ｓｉｎ（ｎＢ）＋ｓｉｎ（ｎＣ）
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）ｃｏｓ（（ｎＡ−ｎＢ）/２）−２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）ｃｏｓ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）（ｃｏｓ（（ｎＡ−ｎＢ）/２）−ｃｏｓ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２））
＝２ｓｉｎ（（ｎＡ＋ｎＢ）/２）・２ｓｉｎ（ｎＡ/２）ｓｉｎ（ｎＢ/２）
＝−４ｃｏｓ（ｎπ/２）ｓｉｎ（ｎＡ/２）ｓｉｎ（ｎＢ/２）ｓｉｎ（ｎＣ/２）
（２） A＋B＋C=π より、 ｎA＋ｎB＋ｎC=ｎπ すなわち、 ｎA＋ｎB＝ｎπ−ｎC
このとき、 ｔａｎ（ｎA＋ｎB）＝ｔａｎ（ｎπ−ｎC）＝−ｔａｎ（ｎＣ） なので、
（ｔａｎ（ｎＡ）＋ｔａｎ（ｎＢ））/（１−ｔａｎ（ｎＡ）ｔａｎ（ｎＢ））＝−ｔａｎ（ｎＣ）
よって、
ｔａｎ（ｎＡ）＋ｔａｎ（ｎＢ）
＝−ｔａｎ（ｎＣ）（１−ｔａｎ（ｎＡ）ｔａｎ（ｎＢ））＝−ｔａｎ（ｎＣ）＋ｔａｎ（ｎＡ）ｔａｎ（ｎＢ）ｔａｎ（ｎＣ）
より、
が成り立つ。 （終）（コメント） △ＡＢＣにおいて、 ｔａｎ（Ａ）＋ｔａｎ（Ｂ）＋ｔａｎ（Ｃ）＝ｔａｎ（Ａ）ｔａｎ（Ｂ）ｔａｎ（Ｃ） が
成り立ちますが、これは私の推しの（お気に入りの）等式です！
（→ 参考）
（３） （ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ）/ｔａｎＣ−ｔａｎＡ・ｔａｎＢ
＝（ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ−ｔａｎＡ・ｔａｎＢ・ｔａｎＣ）/ｔａｎＣ
＝（−ｔａｎＣ）/ｔａｎＣ
＝−１
以下、工事中！