対数の和                                   戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (令和3年11月7日付け)

 次の和は、実数の範囲で計算可能か。もし可能ならば、その値を答えよ。

 Σk=13 log8 cos(2k-1π/9)}

※WolframAlphaの自然言語で入力の方へ:当問は自然対数eを底とする値では無く、8を底
 とする値です。





































(答) −1

 実際に、

 Σk=13 log8 cos(2k-1π/9)}=log8 {cos(π/9)・cos(2π/9)・cos(4π/9)} において、

T=cos(π/9)・cos(2π/9)・cos(4π/9) とおくと、

 2sin(π/9)・T=2sin(π/9)・cos(π/9)・cos(2π/9)・cos(4π/9)
          =sin(2π/9)・cos(2π/9)・cos(4π/9)

 4sin(π/9)・T=2sin(2π/9)・cos(2π/9)・cos(4π/9)
          =sin(4π/9)・・cos(4π/9)

 8sin(π/9)・T=2sin(4π/9)・・cos(4π/9)=sin(8π/9)=sin(π/9)

  sin(π/9)≠0 なので、 T=1/8

 よって、 Σk=13 log8 cos(2k-1π/9)}=log8 1/8=−1


(コメント) きれいな問題ですね!高校生のときに計算した

  cosθ+cos2θ+cos3θ+・・・+cosnθ

 =[sin(nθ/2)cos{(n+1)θ/2}]/sin(θ/2)

を思い出しました。

 sin(θ/2)の一撃で、和が積和の公式で攻略されることに感動しましたね!

(→ 参考:「和積の公式3」)