当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年１１月７日付け）
次の和は、実数の範囲で計算可能か。もし可能ならば、その値を答えよ。
Σk=13 ｌｏｇ8 ｃｏｓ(２k-1π/９)}
※WolframAlphaの自然言語で入力の方へ：当問は自然対数eを底とする値では無く、8を底
とする値です。
（答） −１
実際に、
Σk=13 ｌｏｇ8 ｃｏｓ(２k-1π/９)}＝ｌｏｇ8 ｛ｃｏｓ(π/９)・ｃｏｓ(２π/９)・ｃｏｓ(４π/９)｝ において、
Ｔ＝ｃｏｓ(π/９)・ｃｏｓ(２π/９)・ｃｏｓ(４π/９) とおくと、
２ｓｉｎ(π/９)・Ｔ＝２ｓｉｎ(π/９)・ｃｏｓ(π/９)・ｃｏｓ(２π/９)・ｃｏｓ(４π/９)
＝ｓｉｎ(２π/９)・ｃｏｓ(２π/９)・ｃｏｓ(４π/９)
４ｓｉｎ(π/９)・Ｔ＝２ｓｉｎ(２π/９)・ｃｏｓ(２π/９)・ｃｏｓ(４π/９)
＝ｓｉｎ(４π/９)・・ｃｏｓ(４π/９)
８ｓｉｎ(π/９)・Ｔ＝２ｓｉｎ(４π/９)・・ｃｏｓ(４π/９)＝ｓｉｎ(８π/９)＝ｓｉｎ(π/９)
ｓｉｎ(π/９)≠０ なので、 Ｔ＝１/８
よって、 Σk=13 ｌｏｇ8 ｃｏｓ(２k-1π/９)}＝ｌｏｇ8 １/８＝−１
（コメント） きれいな問題ですね！高校生のときに計算した
ｃｏｓθ＋ｃｏｓ２θ＋ｃｏｓ３θ＋・・・＋ｃｏｓｎθ
＝［ｓｉｎ（ｎθ/２）ｃｏｓ｛（ｎ＋１）θ/２｝］/ｓｉｎ（θ/２）
を思い出しました。
ｓｉｎ（θ/２）の一撃で、和が積和の公式で攻略されることに感動しましたね！
（→ 参考：「和積の公式３」）