当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成３０年６月１６日付け）
単位正ｎ＋１角形 OA[1]A[2]・・・A[n]について、次の問いに答えよ。
（１） sinθ＋sin(θ+α)＋・・・＋sin(θ+nα) の値はいくらか。ただし、α＝２π/（ｎ＋１）
（２） sin(π/18)＋sin(25π/18)＋sin(49π/18) の値はいくらか。
※（２）は、平成26年3月30日UPの「和積の公式」(お茶の間 クイズ＆パズル)と同一問題。
（答） （２）の方の解は、「和積の公式」を参照してもらうとして、（１）の方を解いてみたいと思
います。解答方法は、定石として知られているものです。
Ｔ＝sinθ＋sin(θ+α)＋・・・＋sin(θ+nα) の両辺に、sin（α/２）を掛けて和積の公式を用
いると、
Ｔsin（α/２）
＝sinθsin（α/２）＋sin(θ+α)sin（α/２）＋・・・＋sin(θ+nα)sin（α/２）
＝（−１/２）（cos（θ＋α/２）−cos（θ−α/２））
＋（−１/２）（cos（θ＋３α/２）−cos（θ＋α/２））
＋・・・・・
＋（−１/２）（cos（θ＋（２ｎ＋１）α/２）−cos（θ＋（２ｎ−１）α/２））
＝（−１/２）（cos（θ＋（２ｎ＋１）α/２）−cos（θ−α/２））
＝sin（θ＋ｎα/２）sin（（ｎ＋１）α/２）
ここで、α＝２π/（ｎ＋１） なので、（ｎ＋１）α/２＝π より、 Ｔsin（α/２）＝０
sin（α/２）≠０ より、Ｔ＝０ なので、 sinθ＋sin(θ+α)＋・・・＋sin(θ+nα)＝０
スモークマンさんからのコメントです。（平成３０年６月１８日付け）
（１） x^(n+1)=1 の根の i の係数の和＝０ なので、
sinα＋sin2α＋・・・＋sinnα＋sin(n+1)α＝０
ここで、sin(n+1)α＝sin2π＝０ なので、 sinα＋sin2α＋・・・＋sinnα＝０
これらすべてをθだけ回転させても、(i*sinθを掛けたものの和)＝０ なので、
sinθ＋sin(θ+α)＋・・・＋sin(θ+nα)＝０
（２） sin(π/18)＋sin(7π/18)＋sin(13π/18) をベクトルで考えたら、これらは重心が原点
の正三角形の頂点なので、x、y 座標ともその和は０なので、和＝０
（コメント） スモークマンさんの解答を見て、私の計算に誤りがあることに気づきました。上記
は修正済みです。スモークマンさんに感謝します。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成３０年６月１９日付け）
sin[π/18]＝α とすると、
sin[(25*π)/18]＝sin[π＋(７*π)/18]＝−sin[(７*π)/18]＝−sin[π/２−π/９]
＝−cos[π/９]＝−cos[２（π/１８）]＝２sin2[π/18]−１＝２α2−１
同様にして、
sin[(49*π)/18]
＝sin[(13*π)/18]＝sin[π−(5*π)/18]＝sin[(5*π)/18]＝sin[(5*π)/18]
＝sin[π/2−(2*π)/9]＝cos[(2*π)/9]＝2cos[(2*π)/9]sin[(π/6]＝sin[(7*π)/18]−sin[π/18]
＝sin[π/2−π/9]−sin[π/18]＝cos[π/9]−sin[π/18]＝１−2sin2[π/18]−sin[π/18]
から、 sin[(49*π)/18]＝１−α−２α2 と美しく表現され、足すと零。ついでに、積も求め
ると、答は、 −１/８
（コメント） sin[(25*π)/18]、sin[(49*π)/18] が sin[π/18]＝α の多項式で表せるとは感動
ものですね！数学の深遠さが感じられます。Ｓ（Ｈ）さんに感謝します。
Ｓ（Ｈ）さんによれば、別な視点で、上記のことがもっと簡単に導出できるそうです。