当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年３月３０日付け）
sin10°＋sin250°＋sin490°の値を求めよ。
（答） ０
（コメント） 和積の公式を用いて、解いてみた。
sin10°＋sin250°＋sin490°
=sin10°-sin70°＋sin50°=-2cos40°sin30°＋sin50°=-sin50°＋sin50°=0
DD++さんからのコメントです。（平成２６年３月３０日付け）
タイトルに従っても面白くないので、こんなのはどうでしょう。
複素数平面上に、A(cos10°+i sin10°)、B(cos250°+i sin250°)、C(cos490°+i sin490°)
を取る。
△ABCは、単位円に内接する正三角形でその重心と外心は一致するので、その虚部を考
えると、
(sin10°+sin250°+sin490°)/3=0 すなわち、 sin10°+sin250°+sin490°=0
（コメント） なるほど！「10°、250°、490°」の表す動径のなす角は、すべて 120°なんで
すね．．．。
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年３月３０日付け）
解答ありがとうございます。拡張すると、
sinθ+sin(θ+120°)+sin(θ+240°)=0 、cosθ+cos(θ+120°)+cos(θ+240°)=0
が成り立ちます。今回の問題は、θ=10°のときの sinθ+sin(θ+240°)+sin(θ+480°)
ですが、sin(θ+480°)=sin(θ+120°)ですから、結局は 0 となります。
問題自体は、大学入試でも有名・・・だと思います。