和が一定な図形（２）　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　和が一定というと、すぐ魔方陣のことを思い浮かべるが、次のような問題があることを最
近知った。


　　　　左図のように、立方体の頂点に合計８個の○
　　　があり、○には、１〜８の数字が、１つずつ入る
　　　ものとする。ただし、それぞれの正方形の４つ
　　　の○の数字の和は、一定とする。

　　　　どのように入れたらいいだろうか？

































（答）　（１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８）×３÷６＝１８　から、正方形の４つの○の数字の
　　　和は、１８である。このことに気がつけば下図を得るのは容易だろう。

　　　　　　　　


　上記では答えを１通りあげたが、解は他にもたくさんある。（下表を参照）

　　　　　　　　　　　但し、回転して重なる場合も含む。

　上表で与えた１４４通りを、回転して重なるものは同じとみなして分類すると、相異なる型
は次の６種類である。

　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　

　このように答えが分かってしまうと、計算で求めることも易しく思えるようになるから不思
議だ。

　各面の数の和は、１８ なので、１〜８ までの数を和が１８になるように４つの数ずつ２組
に分類する。回転して重なるものは同じとみなすので、上面に配置する４つの数として、１
と ４ と ６ と ７　として十分である。上面の数の配置が定まると下面の数の配置も和が９
という関係で一意に定まる。

　よって、求める場合の数は、４個の円順列の総数に等しく、（４−１）！＝３！＝６（通り）
である。その６通りを具体的に求めたものが上図である。