当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和元年９月２日付け）
初項 e^(2πi/7)、公比 e^(2πi/7) の等比数列の第３項までの実部の和はいくらか。
（答） スモークマンさんが考察されました。（令和元年９月３日付け）
ω=e^(2πi/7) とおくと、ω^7=1 なので、ω+ω^2+ω^3+ω^4+ω^5+ω^6=-1
α=ω+ω^2+ω^3 の実部(求めるもの)とω^6+ω^5+ω^4 の実部は等しいことから、
αの実部=-1/2 （終）
（コメント） スモークマンさんの鮮やかな解答に感動しました。
私は、地道に計算してみたいと思います。（→ 参考：「チェビシェフの多項式」）
ω=e^(2πi/7) とおくと、第３項までの和は、 ω＋ω2＋ω3 となるので、その実部は、
Ｒ＝ｃｏｓ（2π/7）＋ｃｏｓ（4π/7）＋ｃｏｓ（6π/7）
よって、ｃｏｓ（2π/7）＝ｘ、2π/7＝θ とおくと、 ７θ＝２π すなわち、 3θ＝2π−4θ
ｃｏｓ3θ＝ｃｏｓ（2π−4θ）＝ｃｏｓ4θ
4ｃｏｓ3θ−3ｃｏｓθ＝2ｃｏｓ2（2θ）−1＝2（2ｃｏｓ2θ−1）2−1＝8ｃｏｓ4θ−8ｃｏｓ2θ＋1
4ｃｏｓ4θ−4ｃｏｓ3θ−8ｃｏｓ2θ＋3ｃｏｓθ＋1＝０
（ｃｏｓθ−1）（8ｃｏｓ3θ＋4ｃｏｓ2θ−4ｃｏｓθ−1）＝０
ｃｏｓθ≠1 なので、 8ｃｏｓ3θ＋4ｃｏｓ2θ−4ｃｏｓθ−1＝０
4π/7＝θ、6π/7＝θ としても同様に上式が成り立つ。
よって、ｃｏｓ（2π/7）、ｃｏｓ（4π/7）、ｃｏｓ（6π/7）は、 8ｘ3＋4ｘ2−4ｘ−1＝0 の３つの実
数解となる。解と係数の関係より、
Ｒ＝ｃｏｓ（2π/7）＋ｃｏｓ（4π/7）＋ｃｏｓ（6π/7）＝−1/2
よおすけさんからのコメントです。（令和元年９月１０日付け）
等比数列の和の公式より、 {e^(2πi/7)((e^(2πi/7))^3-1)}/(e^(2πi/7)-1)
これを整えると、実部は、-1/2
※途中計算は各自でやって下さい。