当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年８月３０日付け）
Σn=0〜∞ 1/n!=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・=e は、
ｅ=0/0!+1/1!+2/2!+3/3!+4/4!+5/5!+‥‥=Σn=0〜∞ n/n!=Σn=1〜∞ n/n!
と書き換えられる。そこで
A=Σn=1〜∞ n2/n! 、B=Σn=1〜∞ n3/n! 、C=Σn=1〜∞ n4/n! 、D=Σn=1〜∞ n5/n! 、
E=Σn=1〜∞ n6/n!
の値は何になるでしょう？
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年８月３０日付け）
A=Σn=1〜∞ n2/n!=Σn=1〜∞ n/(n-1)!=Σn=0〜∞ (n+1)/n!=Σn=0〜∞ n/n!+Σn=0〜∞ 1/n!=2e
B=Σn=1〜∞ n3/n!=Σn=1〜∞ n2/(n-1)!=Σn=0〜∞ (n+1)2/n!
=Σn=0〜∞ n2/n!+2Σn=0〜∞ n/n!+Σn=0〜∞ 1/n!=2e+2e+e=5e
C=Σn=1〜∞ n4/n!=Σn=1〜∞ n3/(n-1)!=Σn=0〜∞ (n+1)3/n!
=Σn=0〜∞ n3/n!+3Σn=0〜∞ n2/n!+3Σn=0〜∞ n/n!+Σn=0〜∞ 1/n!=5e+6e+3e+e=15e
D=Σn=1〜∞ n5/n!=Σn=1〜∞ n4/(n-1)!=Σn=0〜∞ (n+1)4/n!
=Σn=0〜∞ n4/n!+4Σn=0〜∞ n3/n!+6Σn=0〜∞ n2/n!+4Σn=0〜∞ n/n!+Σn=0〜∞ 1/n!
=15e+20e+12e+4e+e=52e
E=Σn=1〜∞ n6/n!=Σn=1〜∞ n5/(n-1)!=Σn=0〜∞ (n+1)5/n!
=Σn=0〜∞ n5/n!+5Σn=0〜∞ n4/n!+10Σn=0〜∞ n3/n!+10Σn=0〜∞ n2/n!+5Σn=0〜∞ n/n!+Σn=0〜∞ 1/n!
=52e+75e+50e+20e+5e+e=203e
Ｓ（Ｈ）さんが、さらに計算され、まとめられました。（平成２５年８月３０日付け）
ｅ、2ｅ、5ｅ、15ｅ、52ｅ、203ｅ、877ｅ、4140ｅ、21147ｅ、115975ｅ、678570ｅ、4213597ｅ、
27644437ｅ、190899322ｅ、1382958545ｅ、10480142147ｅ、82864869804ｅ、682076806159ｅ、
5832742205057ｅ、51724158235372ｅ、・・・ → 参考
ａｔ さんからのコメントです。（平成２５年９月１日付け）
上記の話題は、Dobinski's formula と呼ばれているものと関係があるようです。
ｎを正整数、S(n，k) を第二種スターリング数とします。
ｘ の多項式 Σｋ=1〜ｎ S(n，k)・ｘｎ について、等式
Σｋ=1〜ｎ S(n，k)・ｘｎ = e-x・Σｋ=1〜∞ ｋn/ｋ!・ｘk
が成り立つそうです。（→ 参考：「ベル数」）
この式を使って、例えば、 E=Σn=1〜∞ n6/n! を計算すると、ｘ=1 として、
E=Σn=1〜∞ n6/n!=Σｋ=1〜∞ ｋ6/ｋ!= e・Σｋ=1〜6 S(6，k)=B(6)ｅ
漸化式 ｎS1=１、ｎSn=１、ｎSｋ=ｎ-1Sｋ-1+k・ｎ-1Sｋ （k=2、3、・・・、n-1）を用いて、
第２種スターリング数 ｎＳｋ の表は下表のようになる。ここで、ベル数 B(n)=ｎS1+ｎS2+ ・・・+ｎSn