当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年１２月３１日付け）
α、βは鋭角で、ｓｉｎα＝ｂ/ａ、ｓｉｎβ＝(ｂ＋２)/ａ のとき、α＋β＝２π/３ を満たす正
の整数ａ、ｂを求めなさい。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２６年１月２日付け）
ｓｉｎα＝ｂ/ａ、ｓｉｎβ＝(ｂ＋２)/ａ より、ｃｏｓα＝√{１−(ｂ/ａ)2}、ｃｏｓβ＝√{１−((ｂ＋２)/ａ)2}
これらを、 ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ に代入して、
√{１−(ｂ/ａ)2}{１−((ｂ＋２)/ａ)2}−ｂ（ｂ＋２）/ａ2＝−１/２
これを整理すると、 ３ａ2＝４（ｂ＋１）2＋１２
これより、ａは偶数、ｂ＋１は３の倍数なので、ａ＝２ｃ、ｂ＋１＝３ｄ とおいて整理すると、
ペル方程式 ｃ2−３ｄ2＝１ が得られる。この方程式の一般解は、
(ｃ，ｄ)＝( {(２＋
)ｎ＋(２−)ｎ}/２，{(２＋)ｎ−(２−)ｎ}/(２) )なので、元の問題の一般解は、
(ａ，ｂ)＝( (２＋
)ｎ＋(２−)ｎ，{(２＋)ｎ−(２−)ｎ}/２−１ )ただし、ｎ＝１のとき、「βが鋭角」という条件を満たさないので、ｎ≧２。
この式だと具体的な値が計算しにくいので漸化式で表すと、
ｃ1＝２、ｄ1＝１、ｃn+1＝２ｃn＋３ｄｎ、ｄｎ+1＝ｃｎ＋２ｄｎ、ａｎ＝２ｃｎ、ｂｎ＋１＝３ｄｎ から、
ａ1＝４、ｂ1＝２ で、ａｎ+1＝２(ａｎ＋ｂｎ＋１) 、ｂｎ+1＝(３/２)ａｎ＋２ｂｎ＋１
この漸化式に従って、順次 ａｎ、ｂｎを求めると、
(ａ，ｂ)＝(14，11)、(52，44)、(194，167)、(724，626)、(2702，2339)、
(10084，8732)、(37634，32591)、…
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年１月２日付け）
らすかるさん、ありがとうございます。因みに、
arcsin(2339/2702)≒59.96°、arcsin(2341/2702)≒60.04°と、どちらもほぼ60°となります。
このページを見ておられる方が、今後問題作成される際の参考になれば、と思います。
（コメント） ｃｏｓ（α＋β）＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ に代入して計算しようと思いました
が、平方根と式の煩雑さに放置してしまいました。「ａは偶数、ｂ＋１は３の倍数」と
いう見方をすると、一気に視界がひらけたんですね！らすかるさんに感謝します。