聴き取り調査                            戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。(平成21年10月13日)

 あるホテルに一列に並ぶ1号室から13号室までの部屋がある。ここに性別がわからない
人がそれぞれ一人ずつ宿泊しているとする。

 このとき、5つの部屋を訪れて宿泊客の性別を確認することで、次の定理が成立すること
を示すことができるという。

 定理 

 同性の客が少なくとも3人は等間隔の部屋(連続する部屋も含む)に宿泊している。


 さて、あなたはこれをどうやって(どの部屋を訪れるか?)示しますか?


























(答) 当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんより解答を頂きました。
                                     (平成21年10月16日付け)

 まず、5号室と7号室と9号室の性別を確認する。このとき、

        男性3人、または、男性2人・女性1人

の場合を考えれば十分である。他の場合は、性別を反転させればよい。

 よって、起こりうる場合は、対称な場合を除いて、次の3通りである。
(ただし、 男性→○ 、 女性→● とする。)

(1)
10 11 12 13
                   
(2)
10 11 12 13
                   
(3)
10 11 12 13
                   

 (1)の場合は、既に、男性3人が(5、7、9)で等間隔に並んでいる。

 (2)の場合は、6号室の性別を確認する。

   6号室が男性ならば、男性3人が(5、6、7)で等間隔に並ぶことになる。

   6号室が女性ならば、3号室の性別を確認する。

     3号室が男性ならば、男性3人が(3、5、7)で等間隔に並ぶことになる。
     3号室が女性ならば、女性3人が(3、6、9)で等間隔に並ぶことになる。

10 11 12 13
                 
               
               

 (3)の場合は、1号室の性別を確認する。

   1号室が男性ならば、男性3人が(1、5、9)で等間隔に並ぶことになる。

   1号室が女性ならば、13号室の性別を確認する。

     13号室が男性ならば、男性3人が(5、9、13)で等間隔に並ぶことになる。
     13号室が女性ならば、女性3人が(1、7、13)で等間隔に並ぶことになる。

10 11 12 13
                 
               
               

(コメント) 解答をお寄せいただいたらすかるさんに感謝します。
      とても面白い問題ですね!GAI さんに感謝します。

 この問題に関連して、平成21年10月18日付けでペントミノさんからの報告です。

 らすかるさんの解答で十分だと思いますが、この問題を考える中で以下のような変形問
題ができることがわかりました。

 同性3人が等間隔になる存在だけを示すのなら1号室から9号室までで十分

  同性3人が等間隔になっているところを具体的に見つけ出すには13部屋が必要そうで
 すが、9部屋あればどこかに同性3人が等間隔になっているところがある、というものです。

   3号室、5号室、7号室の組み合わせは下記3通り。

 
(1)
           
(2)
           
(3)
           

 (1)の場合は、既に、男性3人が(3、5、7)で等間隔に並んでいる。

 (2)の場合は、1号室の性別を確認する。

   1号室が男性ならば、男性3人が(1、3、5)で等間隔に並ぶことになる。

   1号室が女性ならば、4号室の性別を確認する。

     4号室が男性ならば、男性3人が(3、4、5)で等間隔に並ぶことになる。
     4号室が女性ならば、女性3人が(1、4、7)で等間隔に並ぶことになる。

 
(2)
           
         
       
         

 (3)の場合は、1号室、9号室の組み合わせを追加する。

 
       
       
       

 次の場合

 
       

は、既に、女性3人が(1、5、9)で等間隔に並んでいる。

 次の場合

 
       

は、2号室、8号室の性別の如何に関わらず必ず同性が等間隔に並ぶことになる。

 
   
   
   
   

 次の場合

 
       

は、2号室、4号室、6号室、8号室の性別の如何に関わらず必ず同性が等間隔に並ぶこ
とになる。

 
   
   
   

 以上から、9部屋のうち、5つの部屋を訪れて宿泊客の性別を確認することで、どこかに
同性3人が等間隔になっているところがあることが示された。

 (→ この話題の関連する項目:「数の組合せ2」)