１ から ８ までの８個の異なる数を、２つの集まりＡ、Ｂに振り分ける。ただし、Ａ、Ｂのどの
集まりにおいても、次の性質を持つようにしたい。
どんな３つの数を選んでも、互いの差は全て異なる
８個の異なる数を、２つの集まりＡ、Ｂにどう振り分けたらよいのだろうか？
（答） ｛ １、２、５、６ ｝ と ｛ ３、４、７、８ ｝ または ｛ １、３、６、８ ｝ と ｛ ２、４、５、７ ｝
または ｛ １、４、５、８ ｝ と ｛ ２、３、６、７ ｝ と振り分ければよい。
（未菜実さん、らすかるさんの検証の結果、解は３つのみと判明しました！
（平成１７年１２月１９日付け））
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＦＮ」さんが、上記の問題を次のように拡張された。
（平成２２年６月１７日付け）
１ から ９ までの９個の異なる数を、２つの集まりＡ、Ｂに振り分ける。ただし、Ａ、Ｂのどの
集まりにおいても、次の性質を持つようにしたい。
どんな３つの数を選んでも、互いの差は全て異なる
９個の異なる数を、２つの集まりＡ、Ｂにどう振り分けたらよいのだろうか？
表現を変えれば（否定？）、次のようになる。
Ｕ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９｝を２つの部分集合Ａ、Ｂの直和で表したとき、
Ａ、Ｂの少なくとも一方は等差数列をなす3つの数を含むことを示せ。
ペントミノさんは、「聴き取り調査」において、
９部屋のうち、５つの部屋を訪れて宿泊客の性別を確認することで、どこかに同性３人が
等間隔になっているところがある
ことを示された。したがって、ＦＮさんの拡張された問題には解がないことが分かる。
そこで、ＦＮさんは、問題をさらに次のように拡張された。（平成２２年６月１９日付け）
１から ｎ までの自然数を３つの集合Ａ、Ｂ、Ｃに分ける。ただし、Ａ、Ｂ、Ｃ のどの集
まりにおいても、次の性質を持つようにしたい。
どんな３つの数を選んでも、互いの差は全て異なる
このような分け方が可能であるのは、ｎ がどのような場合であるか。
これについて、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんがプログラムを作っ
て調べられた。（平成２２年６月１９日付け）
その結果によると、ｎ＝２６ のとき、解の一つは、
Ａ＝｛ １，２，５，６，１２，１４，１５，１７，２１ ｝
Ｂ＝｛ ３，４，７，９，１６，１８，１９，２４，２６ ｝
Ｃ＝｛ ８，１０，１１，１３，２０，２２，２３，２５ ｝
で、ｎ＝２７ では解はないそうである。
さらに、らすかるさんの探索の結果、ｎ＝７６ では解がないことが判明したそうである。
探索に要した時間が「１７時間１０分！」とのことで驚きました。
なお、ｎ＝７５ の場合の解の一つは次のようになるとのこと。（平成２２年６月２０日付け）
Ａ＝｛1,2,8,10,11,13,17,27,34,35,38,39,45,47,48,50,54,64,71,72｝
Ｂ＝｛3,15,16,19,21,25,30,32,33,40,52,53,56,58,62,67,69,70,75｝
Ｃ＝｛4,5,12,22,26,28,29,31,37,41,42,49,59,63,65,66,68,74｝
Ｄ＝｛6,7,9,14,18,20,23,24,36,43,44,46,51,55,57,60,61,73｝
この問題について、ＦＮさんからの新しい情報である。（平成２２年７月２４日付け）
相当難しい問題だったようで、まず、次の定理が成り立つ。
定 理（Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ）・・・（参考：Van der Waerden's theorem）
自然数 ｒ 、ｋ に対して自然数Ｎが存在し、Ｎ以上の任意の自然数 ｎ に対して次の
ことが成り立つ。
１ から ｎ までのすべての自然数の集合を、ｒ 個の集合の直和としてどのように表
しても、そのうちの少なくとも１つの集合が長さ ｋ の等差数列を含む。
この定理によって、存在が保証されたＮのうちで最小のものを
Ｖａｎ ｄｅｒ Ｗａｅｒｄｅｎ Ｎｕｍｂｅｒ
といい、Ｗ（ ｒ ， ｋ ） で表す。この値は、ｒ≧２、ｋ≧３ でないと実質的な意味はない。
ｒ≧２、ｋ≧３ のときで、Ｗ（ ｒ ， ｋ ）の値が分かっているのは次の６個だけとのこと。