当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからの出題です。
（平成２５年２月２７日付け）
漸化式 ａ0＝４、ａn+1＝√(ａn＋２) と表される数列の一般項を求めよ。
ただし、一般項を表す式に使ってよいのは、
ｎ 、整数 、四則演算 、べき乗（平方根も含む）
および、 演算の優先順位を変えるためのカッコ
のみとする。
（答） 空舟さんが考察されました。（平成２５年２月２８日付け）
どこかで見覚えが有る式でした。（→ 「質問に対する回答（２６）」）
そういうわけで、an=ex+e-x とおくと、 an+1=ex/2+e-x/2 となります。ここにおいては、e は自
然対数の底である必要はないです。そういうわけで、
an=(2+√3)^(2/2n) + (2-√3)^(2/2n)
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年２月２８日付け）
an=(2+√3)^(2/2n) + (2-√3)^(2/2n)
で、ほぼ正解ですが、問題では、a1=4でなく、a0=4 としていましたので、正しくは
an=(2+√3)^(1/2n) + (2-√3)^(1/2n)
となります。私が用意していた解答は以下の通りです。
（解） a[n+1]=√(a[n]+2) において、(a[n+1])^2-2=a[n]
ここで、a[n]=u^(1/2^n)+v^(1/2^n) とおくと、a[n+1]=u^(1/2^(n+1))+v^(1/2^(n+1)) なので
(a[n+1])^2=u^(1/2^n)+v^(1/2^n)+2(uv)^(1/2^(n+1))
uv=1とすれば、(a[n+1])^2=u^(1/2^n)+v^(1/2^n)+2
このとき、 (a[n+1])^2-2=u^(1/2^n)+v^(1/2^n)=a[n] となる。
a[0]=u+v=4, uv=1 からu,vを求めると u,v=2±√3 なので、
a[n]=(2+√3)^(1/2^n)+(2-√3)^(1/2^n) （終）
（参考） Ｓ（Ｈ）さんからコメントを頂きました。 → コメント１、コメント２