当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰ読者のＨＮ「ｈａｓｕ」さんより、書き込みがあった。
（平成２４年７月７日付け）
何だかよく分からないけど、かなり綺麗な式を見つけましたが、いくら頑張っても証明でき
ません。どなたか証明が分かりませんでしょうか？
θ√（４−θ2）/４cos-1(θ/２)＝（θ/２）｛√(２＋θ)/２｝｛√(２＋√(２＋θ))/２｝……
パソコンで確かめましたので合っていると思います。
式が長いので、見やすくしてみようと思った。以下は、その計算。
Ｆ（θ）＝θ/２ とおくと、 √(２＋θ)/２＝ Ｆ（√(２＋θ)）
そこで、 Ｇ（θ）＝√(２＋θ) とおくと、 √(２＋θ)/２＝Ｇ（θ）/２＝ＦＧ（θ）
同様にして、 √(２＋√(２＋θ))/２＝√(２＋Ｇ（θ）)/２＝Ｇ2（θ）/２＝ＦＧ2（θ）
となる。以下、同様にして、元の等式は、
√（４−θ2）/｛２cos-1(θ/２)｝＝ＦＧ（θ）・ＦＧ2（θ）・・・・
と書き換えることができる。
上記の形で、らすかるさんが証明されました。（平成２４年１０月１３日付け）
（証明） θ＝２t (ただし、-1＜t＜1 ) とおくと、√（１−ｔ2）＝cos-1ｔ・ＦＧ（２ｔ）・ＦＧ2（２ｔ）・・・・
ここで、ｃｏｓ-1ｔ＝ｘ とおくと、ｃｏｓｘ＝ｔ （０＜ｘ＜π） で、
ＦＧ（２ｔ）＝√(１＋ｃｏｓｘ)/
＝√(２ｃｏｓ2（ｘ/２）)/＝ｃｏｓ(ｘ/２)ＦＧ2（２ｔ）＝√(２＋√(２＋２ｃｏｓｘ))/２＝√(２＋２ｃｏｓ(ｘ/２))/２＝ｃｏｓ(ｘ/４)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
より、 ｓｉｎｘ＝ｘ・ｃｏｓ(ｘ/２)・ｃｏｓ(ｘ/４)・ｃｏｓ(ｘ/８)・ｃｏｓ(ｘ/１６)・・・・
と書き換えることができる。この式は、
ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎ(ｘ/２)ｃｏｓ(ｘ/２)＝４ｓｉｎ(ｘ/４)ｃｏｓ(ｘ/４)ｃｏｓ(ｘ/２)
＝８ｓｉｎ(ｘ/８)ｃｏｓ(ｘ/８)ｃｏｓ(ｘ/４)ｃｏｓ(ｘ/２)
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＝２n・ｓｉｎ(ｘ/２n)・ｃｏｓ(ｘ/２n)ｃｏｓ(ｘ/２n-1)・・・ｃｏｓ(ｘ/４)ｃｏｓ(ｘ/２)
＝ｘ・［｛ｓｉｎ(ｘ/２n)｝/｛ｘ/２n｝・ｃｏｓ(ｘ/２n)ｃｏｓ(ｘ/２n-1)・・・ｃｏｓ(ｘ/４)ｃｏｓ(ｘ/２)
より、ｎ→∞ とすれば得られる。 （証終）
（コメント） 鮮やかな証明ですね！らすかるさんに感謝します。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１０月１４日付け）
漸化式 ａn+1 ＝ √(1＋ａn)/
(ａ0＞0) において、ａ0≦１ のとき、ａ0＝ｃｏｓｘ とおくと、らすかるさんの証明で示されたように、半角公式により帰納的に ａn＝cos(ｘ/２n) と一般
項を表すことができますが、一方、 ａ0＞１ のときは、ａ0＝（eｘ＋e-ｘ）/２ とおくと、帰納的に
ａn＝（eｘ/２n＋e-ｘ/２n）/２ となります
（関数 （eｘ＋e-ｘ）/２ は、ｃｏｓｈ(ｘ) と呼ばれる双曲線関数で、複素関数に拡張した時、
ｃｏｓｈ(ｉｘ)＝ｃｏｓｘ の関係です。）
以下、工事中！