当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年１２月２５日付け）
今年は、特別講義-大学入試問題探訪の新規追加がなかったのと、クリスマスプレゼント
の代用で出題しました。
ｎを正の整数とする。(ｘ2−１)n−１ は、ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れるか。
（出典：早稲田大学理工学部（２０２１） 類題）
（答） 今年の特別講義-大学入試問題探訪の新規追加がなかったとのこと、気がつきませ
んでした。よおすけさん、ご指摘ありがとうございます。
久々に大学入試問題に挑戦したいと思います。
ｎ＝１のとき、 与式＝(ｘ2−１)1−１＝ｘ2−２ は、ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
ｎ＝２のとき、 与式＝(ｘ2−１)2−１＝ｘ4−２ｘ2＝１・（ｘ4−ｘ2＋１）−ｘ2−１ は、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
ｎ＝３のとき、 与式＝(ｘ2−１)3−１＝ｘ6−３ｘ4＋３ｘ2−２＝（ｘ2−２）（ｘ4−ｘ2＋１） は、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れる。
ｎ＝４のとき、 与式＝(ｘ2−１)4−１＝ｘ8−４ｘ6＋６ｘ4−４ｘ2
＝（ｘ4−３ｘ2＋２）（ｘ4−ｘ2＋１）＋ｘ2−２ は、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
ｎ＝５のとき、 与式＝(ｘ2−１)5−１＝ｘ10−５ｘ8＋１０ｘ6−１０ｘ4＋５ｘ2−２
＝（ｘ6−４ｘ4＋５ｘ2−１）（ｘ4−ｘ2＋１）−ｘ2−１ は、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
ｎ＝６のとき、 与式＝(ｘ2−１)6−１＝ｘ12−６ｘ10＋１５ｘ8−２０ｘ6＋１５ｘ4−６ｘ2
＝（ｘ8−５ｘ6＋９ｘ4−６ｘ2）（ｘ4−ｘ2＋１） は、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れる。
以上の試算から、ｎが３の倍数のとき、(ｘ2−１)n−１ は、ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れるものと
推察される。
実際に、ｎ＝３ｋ （ｋは自然数） のとき、
(ｘ2−１)n−１＝｛(ｘ2−１)3｝ｋ−１
＝｛（ｘ2−２）（ｘ4−ｘ2＋１）＋１｝ｋ−１≡０ （ｍｏｄ ｘ4−ｘ2＋１）
より、(ｘ2−１)n−１ は、ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れる。
ｎが３の倍数でないときは、割り切れない。
実際に、 ｍｏｄ ｘ4−ｘ2＋１ において、 ｘ4≡ｘ2−１ なので、
ｘ6≡ｘ4−ｘ2≡−１ 、ｘ8≡−ｘ2 、ｘ10≡−ｘ4≡−ｘ2＋１ 、・・・
このとき、 (ｘ2−１)n−１≡ｘ4n−１ において、
ｎ＝３ｋ＋１ （ｋは０以上の整数） のとき、
ｘ4n−１＝ｘ12k+4−１≡（ｘ6）2k・ｘ4−１≡ｘ4−１≡ｘ2−２ なので、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
ｎ＝３ｋ＋２ （ｋは０以上の整数） のとき、
ｘ4n−１＝ｘ12k+8−１≡（ｘ6）2k・ｘ6・ｘ2−１≡−ｘ2−１ なので、
ｘ4−ｘ2＋１ で割り切れない。
以下、工事中！