当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２７年５月３０日付け）
多項式をf(x)とする。 f(f(x))-x は f(x)-xで割り切れることを証明せよ。
（答） DD++さんからのコメントです。（平成２７年５月３０日付け）
割り切れるんですね、驚きました。安易な証明でよければ道筋は立ちますが、数学的帰納
法でかなりややこしいことをしないといけなくて手間ですね。簡素な証明はできるのかな？
りらひいさんが考察されました。（平成２７年５月３１日付け）
以前にこんな話を見たなーと思って確認してみたら、「解の巡回」のページに似たような話
がありました。”G(ｘ)−ｘ”で検索をかけると見つけやすいかと思います。
そこに書かれていることを抜き出して書き直すと次のようになります。
f(x)=yとおく。f(y)-xをyに関する多項式とみて、これをy-xで割ると、剰余の定理（あるいは
組立除法で実際に割ってみること）により、余りはf(x)-x となることがわかる。
すなわち、商をg(y,x)とおけば、次のように書ける。 f(y)-x=(y-x)g(y,x)+f(x)-x
よって、 f(f(x))-x=(f(x)-x)(g(f(x),x)+1) となるため、f(f(x))-x は、f(x)-x で割り切れる。
※これは私の答案ではありません。「解の巡回」にあるものをちょこっと変えて書き写しただ
けです。大事なことなので二回言いました。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年５月３１日付け）
あ、なるほど。これなら、f(x)-x が重根持っても影響ないんですね。