「１１１５５６」は、ある数の平方数である。ある数を求めよ。
（答） １１１５５６＝３３４×３３４ である。
実際に、 １１１５５６＝（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）2 とする。
（１００ａ＋１０ｂ＋ｃ）2＝１００００ａ2＋１００ｂ2＋ｃ2＋２０００ａｂ＋２０ｂｃ＋２００ｃａ
左辺の下１桁が６なので、 ｃ＝４ または ６
（１） ｃ＝４ のとき、
（１００ａ＋１０ｂ＋４）2＝１００００ａ2＋１００ｂ2＋１６＋２０００ａｂ＋８０ｂ＋８００ａ
左辺の下２桁が５６なので、 ８０ｂ＋１６ の下２桁が５６となるｂの値は、
ｂ＝３ または ８
（ア） ｂ＝３ のとき、 （１００ａ＋３４）2＝１００００ａ2＋１１５６＋６０００ａ＋８００ａ
左辺の下３桁が５５６なので、 １１５６＋８００ａ の下３桁が５５６となるａの値は、
ａ＝３ または ８
（ⅰ） ａ＝３ のとき、 ３３４2＝１１１５５６ で適する。
（ⅱ） ａ＝８ のとき、 ８３４2＞１１１５５６ で不適。
（イ） ｂ＝８ のとき、 （１００ａ＋８４）2＝１００００ａ2＋７０５６＋１６０００ａ＋８００ａ
左辺の下３桁が５５６なので、 ７０５６＋８００ａ の下３桁が５５６となるａの値はない
（２） ｃ＝６ のとき、
（１００ａ＋１０ｂ＋６）2＝１００００ａ2＋１００ｂ2＋３６＋２０００ａｂ＋１２０ｂ＋１２００ａ
左辺の下２桁が５６なので、 １２０ｂ＋３６ の下２桁が５６となるｂの値は、
ｂ＝１ または ６
（ア） ｂ＝１ のとき、 （１００ａ＋１６）2＝１００００ａ2＋２５６＋２０００ａ＋１２００ａ
左辺の下３桁が５５６なので、 ２５６＋１２００ａ の下３桁が５５６となるａの値はない
（イ） ｂ＝６ のとき、 （１００ａ＋６６）2＝１００００ａ2＋４３５６＋１２０００ａ＋１２００ａ
左辺の下３桁が５５６なので、 ４３５６＋１２００ａ の下３桁が５５６となるａの値は、
ａ＝１ または ６
（ⅰ） ａ＝１ のとき、 １６６2＜１１１５５６ で不適
（ⅱ） ａ＝６ のとき、 ６６６2＞１１１５５６ で不適
以上から、 求める数は、 ３３４ （終）
（コメント） 一応手計算で求められたが、もっと上手く求める方法はないだろうか？
「平方根・立方根を筆算で求める方法」を使えば良かったかな？
よおすけさんからのコメントです。（平成３１年３月２６日付け）
111556 をより簡単な数の積で表すことを考える。
以下、10^2＝100、16^2＝256、17^2＝289 は知っているものとする。
111556＝2^2×27889
ここで、 25600(160^2)＜27889＜28900(170^2) より、27889 は、170^2 に近い。
(170-1)^2＝170^2-2×170×1+1^2=28561
(170-2)^2＝170^2-2×170×2+2^2=28224
(170-3)^2＝170^2-2×170×3+3^2=27889
から、170-3=167 なので、 27889＝167^2
よって、 111556＝2^2×167^2＝334^2
334 は正だから、 √111556＝334
らすかるさんからのコメントです。（平成３１年３月２６日付け）
9倍すると、10^6に近くなるので、9倍してみると、 111556×9=1004004
1004004=(1000+2)^2 なので、 111556×9=1002^2
よって、 111556=(1002÷3)^2=334^2
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年３月２６日付け）
「334」は、
34^2=1156
334^2=111556
3334^2=11115556
33334^2=1111155556
333334^2=111111555556
･･････
と綺麗に並ぶ。これと同じ性質を持つものを探したら、
67^2=4489
667^2=444889
6667^2=44448889
66667^2=4444488889
666667^2=444444888889
･･･････････
となる。これとは少し性質を異にするが、
65^2=4225
665^2=442225
6665^2=44422225
66665^2=4444222225
666665^2=444442222225
････････････････
などが目立ちました。
なつさんからのコメントです。（平成３１年３月２８日付け）
こんな解き方もしてみました。
111556=x^2 と置くと、 111556-1=x^2-1=(x+1)(x-1)=111555=111×1005より、111555の
約数を書き出すと、
1,111555 3,37185 5,22311 9,12395 15,7437 37,3015 45,2479 67,1665
111,1005 185,603 201,555 333,335
よって、 x=334