当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年２月１日付け）
１〜１５の数を、 ８、１、１５、１０、６、３、１３、１２、４、５、１１、１４、２、７、９ と並べると、
隣どうしの数の和はどこも平方数となる。１〜１６ なら、
８、１、１５、１０、６、３、１３、１２、４、５、１１、１４、２、７、９、１６
で作れる。そこで、１〜１７を用いてこの条件を満足する並びを作ってほしい。
（答） １〜１７を用いて隣どうしの数の和はどこも平方数となる並びは、
１７、８、１、１５、１０、６、３、１３、１２、４、５、１１、１４、２、７、９、１６
同様にして、１〜１８を用いて隣どうしの数の和はどこも平方数となる並びにも挑戦しまし
たが、存在しないような．．．そんな予感！
よおすけさんからのコメントです。（平成２７年２月１日付け）
お茶の間パズル「平方数をつくる」で、平成２２年１０月頃にらすかるさんが、ｎ＝１７のとき
を示した箇所があります。らすかるさんはそれ以外についても調査されています。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年２月１日付け）
あら〜！もう既にきれいに並び終えていましたね。では、
異なる自然数 ａ、ｂ、ｃ で、ａ＋ｂ、ａ−ｂ、ａ＋ｃ、ａ−ｃ、ｂ＋ｃ、ｂ−ｃ がいずれも平方数に
なるという。
さて、ａ、ｂ、ｃは如何？
DD++さんからのコメントです。（平成２７年２月２日付け）
あと一歩まで迫っている感じはするのですが、決め手が難しいですね。私は以下の点で行
き詰まりました。
０＜ｙ＜ｘ＜１ なる有理数 ｘ、ｙ について、
「(１＋ｘ)(１＋ｙ)＝２ ならば、
ｘ(１＋ｙ)(１−ｙ) および ｙ(１＋ｘ)(１−ｘ) はともに有理数の平方である」
は計算すればすぐに示せますが、この逆、すなわち
「ｘ(１＋ｙ)(１−ｙ) および ｙ(１＋ｘ)(１−ｘ) がともに有理数の平方であるならば、
(１＋ｘ)(１＋ｙ)＝２ 」
は、はたして真でしょうか？真ならば、GAI さんの問題は解なし。偽ならば、その ｘ、ｙ を用
いて、
ａ＝(１＋ｘ2)(１＋ｙ2)ｋ2 、ｂ＝２(ｘ＋ｙ)(１−ｘｙ)ｋ2 、ｃ＝２(ｘ−ｙ)(１＋ｘｙ)ｋ2
（ただし、ｋは整数化できるように適当に選ぶ）
とすると解になり、かつ、解はこのように構成されるものに限るはずです。
しかし、真である証明もできず、具体的な反例も見つからず……。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年２月２日付け）
解は、多分無数に存在すると思います。（現在２５種類発見中。しかしとても大きい数です。）
ｘ＝４/９、ｙ＝１６/６５ ｘ＝４９/８１、ｙ＝５/１３ なら反例ですかね。
詳しいことはわかりませんが、最小の組合せをオイラーが発見したそうです。（恐るべし計算力）
DD++さんからのコメントです。（平成２７年２月２日付け）
おお、まさか一桁/一桁で反例があったとは。というわけで、
x = 4/9, y = 16/65, k = 9×65 とすると、a = 434657、b = 420968、c = 150568
このとき確かに、
a+b = 434657+420968 = 855625 = 925^2 、a-b = 434657-420968 = 13689 = 117^2
a+c = 434657+150568 = 585225 = 765^2 、a-c = 434657-150568 = 284089 = 533^2
b+c = 420968+150568 = 571536 = 756^2 、b-c = 420968-150568 = 270400 = 520^2
となります。これが最小かどうかは皆目検討つきませんが。
なお、無数にあるかという点については、この解全体を、4倍、9倍、16倍、……、すれば
無限に得られます。最大公約数が平方因子を持たないという条件を課した場合は、やはり
どうかわかりません。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年２月３日付け）
今までに見つけた(a;b;c)です。（→ 一覧）
DD++さんの見いだした解は、オイラーが見つけた多分最小組です。ここ３日ほど計算機を
走らせていますが、これより小さいものは今のところヒットしません。