当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「数々の和」さんからの出題です。
（平成２６年１月１日付け）
今年も年賀パズルを作りました。
２０１４(平成２６)年の問題
（１） ２０１３＝３×１１×６１ 、３＋１１＋６１＝７５
２０１４＝２×１９×５３ 、２＋１９＋５３＝７４
です。２０１３と２０１４は共に３個の異なる素数の積であり、その素数の和は１違いになっ
ています。
異なる３個の素数の組が２組あって、それぞれの組の積も和も「１」違いであるという性
質を持つ最も小さい組を見つけてください。
（２） 例えば、「１４７４１」とか「３７１１７３」のように右から読んでも左から読んでも同じになっ
ている数のことを「回文数」といいます。
２６の２乗は、６７６で回文数です。そこで、問題です。
２６□の２乗、２６□□の２乗が回文数になるように□に数字を入れてください。
（答） （１） ２８５＝３×５×１９ 、２８６＝２×１１×１３ の組が多分、最小。
「異なる」という条件を外せば、 ９８＝２×７2 、９９＝３2×１１
（２） ２６４2＝６９６９６ 、２６３６2＝６９４８４９６
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからのコメントです。
（平成２６年１月２日付け）
上記の問題、よく考えられたなと感心いたしました。私も早速調査してみたら、解答の通り
でした。
285、286 ・・・ 漢字が中国から伝わる
次が、 902、903 ・・・ 菅原道真が太宰府へ流され、荘園の大整理が行われる
そして、 2013、2014 ・・・ 昨年と今年
さらに、次は、 4233、4234 ・・・ さて人類はどうなっている？
4345、4346 ・・・ 次は割と近い
と、平安時代以来とってもめずらしい年であることが判明いたしました。
次に、回文数について調査しましたら、異なる３桁どうしの積で回文数を構成できるパター
ンが、１２３１通り(１０１*１１１、１０１*１２１、･･･、９１３*９９３ など)ありました。
そこで問題です。異なる３桁どうしの積で、特に総ゾロ目となるもの
33333,44444,55555,66666,77777,88888,99999（11111、22222は存在できない）
111111,222222,333333,444444,555555,666666,888888（777777は存在できない）
を構成してください。
また、異なる４桁どうしの積で総ゾロ目となるものをすべて発見して下さい。
（コメント） 当ＨＰの投稿一覧：「連綿と続く １」を参考にして、
異なる３桁の場合、１１１１１と１１１１１１が次のように素因数分解できる。
１１１１１＝４１×２７１ 、１１１１１１＝３×７×１１×１３×３７
このことから、 33333=123*271 、44444=164*271 、55555=205*271 、66666=246*271
66666=123*542 、77777=287*271 、88888=328*271 、88888=164*542
99999=369*271 、99999=123*813
また、３×７×１１×１３×３７＝１４３×７７７、２３１×４８１、２５９×４２９、２７３×４０７
なので、
111111=143*777 、111111=231*481 、111111=259*429 、111111=273*407
222222=286*777 、222222=462*481 、222222=231*962 、222222=518*429
222222=259*858 、222222=546*407 、222222=273*814
333333=429*777 、333333=693*481 、333333=777*429 、333333=819*407
444444=572*777 、444444=924*481 、444444=462*962 、444444=518*858
444444=546*814
555555=715*777
666666=858*777 、666666=693*962 、666666=777*858 、666666=819*814
888888=924*962
同様にして、異なる４桁の場合、１１１１１１１と１１１１１１１１が
１１１１１１１＝２３９×４６４９ 、１１１１１１１１＝１１×７３×１０１×１３７
と素因数分解できるので、解は容易に見いだせるだろう。具体的な解は読者のための練習
問題としよう。
ＧＡＩ さんからの続報です。（平成２６年１月３日付け）
昨日に続き、５桁どうしの積を調べていたとき、ゾロ目以外にも「1234567890」を構成する
ものが存在できるかもと思い調べてみましたら、６組存在できることがわかりました。
そこで、問題です。
異なる２つの５桁の正の整数Ｘ、Ｙの積Ｘ・Ｙが「１,２３４,５６７,８９０」となる組合せ（Ｘ＜Ｙ）を
求めて下さい。
（コメント） 1234567890=2*3*3*5*3607*3803 と素因数分解できるので、
（Ｘ，Ｙ）=（18035，68454）、（19015，64926）、（21642，57045）、（22818，54105）、
（32463，38030）、（34227，36070）