当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２８年１０月３日付け）
次の空所には、０ から ９ までの数が、１つずつ全て入る。
このとき出来る１０桁の整数で、以下の条件がすべて成り立つものを答えなさい。
上２桁が２で割り切れる
上３桁が３で割り切れる
上４桁が４で割り切れる
上５桁が５で割り切れる
上６桁が６で割り切れる
上７桁が７で割り切れる
上８桁が８で割り切れる
上９桁が９で割り切れる
この１０桁の整数は１０で割り切れる
（→ 類題：「数字並べ（３）」）
（答） りらひいさんが考察されました。（平成２８年１０月４日付け）
１０桁の数を「ABCDEFGHIJ」とする。
上から偶数桁が偶数になるため、上から偶数桁目は偶数である。よって、上から奇数桁目
は奇数になる。
この整数が１０の倍数であるため、上から１０桁目は「０」である。この時点で、上９桁が９の
倍数であることは満たされる。
上５桁が５の倍数であるため、上から５桁目は「５」である。
上４桁が４の倍数であり、３桁目が奇数かつ４桁目が偶数であるため、４桁目は「２」または
「６」である。
ここまでをまとめると、次のどちらかになる。
「ABC25FGHI0」 (A,C,G,I=1,3,7,9 ; B,F,H=4,6,8)
「ABC65FGHI0」 (A,C,G,I=1,3,7,9 ; B,F,H=2,4,8)
上３桁が３の倍数かつ上６桁が６の倍数なので、４〜６桁目は６の倍数になる。
(1) 「ABC25FGHI0」 (A,C,G,I=1,3,7,9 ; B,F,H=4,6,8) のとき、「25F」が６の倍数なので、６桁目
が「８」となる。
(2) 「ABC65FGHI0」 (A,C,G,I=1,3,7,9 ; B,F,H=2,4,8) のとき、「65F」が６の倍数なので、６桁目
が「4」となる。
２桁目と８桁目も割り振ると、次のいずれかになる。
「A4C258G6I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) 「A6C258G4I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9)
「A2C654G8I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) 「A8C654G2I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9)
上８桁が８の倍数であるため、上から６〜８桁目は、８の倍数である。
(1-1) 「A4C258G6I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) のとき、「8G6」が８の倍数となるため、７桁目は「1」
または「9」
(1-2) 「A6C258G4I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) のとき、「8G4」が８の倍数となることはないため、不
適
(2-1) 「A2C654G8I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) のとき、「4G8」が８の倍数となることはないため、不
適
(2-2) 「A8C654G2I0」 (A,C,G,I=1,3,7,9) のとき、「4G2」が８の倍数となるため、７桁目は「3」
または「7」
ここまでをまとめると、次のどれかになる。
「A4C25816I0」 (A,C,I=3,7,9) 「A4C25896I0」 (A,C,I=1,3,7)
「A8C65432I0」 (A,C,I=1,7,9) 「A8C65472I0」 (A,C,I=1,3,9)
上６桁が３の倍数かつ上９桁が３の倍数なので、７〜９桁目は３の倍数になる。
(1-1-1) 「A4C25816I0」(A,C,I=3,7,9) のとき、「16I」が３の倍数になることはないため、不適
(1-1-2) 「A4C25896I0」 (A,C,I=1,3,7) のとき、「96I」が３の倍数になるため、９桁目は「3」
(2-2-1) 「A8C65432I0」 (A,C,I=1,7,9) のとき、「32I」が３の倍数になるため、９桁目は「1」ま
たは「7」である。
(2-2-2) 「A8C65472I0」 (A,C,I=1,3,9) のとき、「72I」が３の倍数になるため、９桁目は「3」ま
たは「9」である。
ここまでをまとめると、次のどれかになる。
「A4C2589630」 (A,C=1,7) 「A8C6543210」 (A,C=7,9) 「A8C6543270」 (A,C=1,9)
「A8C6547230」 (A,C=1,9) 「A8C6547290」 (A,C=1,3)
上７桁が７の倍数になるものを探す。
(1-1-2-1) 「A4C2589630」 (A,C=1,7) のとき、「1472589」、「7412589」は７の倍数でないた
め不適
(2-2-1-1) 「A8C6543210」 (A,C=7,9) のとき、「7896543」、「9876543」は７の倍数でないた
め不適
(2-2-1-2) 「A8C6543270」 (A,C=1,9) のとき、「1896543」、「9816543」は７の倍数でないた
め不適
(2-2-2-1) 「A8C6547230」 (A,C=1,9) のとき、「1896547」、「9816547」は７の倍数でないた
め不適
(2-2-2-2) 「A8C6547290」 (A,C=1,3) のとき、「1836547」は７の倍数でないため不適。
「3816547」は７の倍数であるため、「3816547290」は満たす。
以上から、「3816547290」は条件をすべて満たしているため、答えは、
３８１６５４７２９０
（コメント） 一つ一つ条件を潰していくという気の遠くなるような計算でしたね！りらひいさん
に感謝します。