次の空所には、０ から ９ までの数が、１つずつ全て入る。
このとき出来る１０桁の整数が、２〜１８ の何れでも割り切れるようにするには、どのように
入れたらいいだろうか？
（答）
２、３、４＝２2、５、６＝２×３、７、８＝２3、９＝３2、１０＝２×５、１１、１２＝２2×３、１３、
１４＝２×７、１５＝３×５、１６＝２4、１７、１８＝２×３2 なので、２〜１８ の何れでも割り
切れるようにするためには、
２4×３2×５×７×１１×１３×１７＝１２２５２２４０
で割り切れなければならない。
このとき、 １２２５２２４０×１９９＝２４３８１９５７６０ を得る。
同様の性質を持つ数として、
４７５３８６９１２０
がある。これらが、２〜１８ の倍数であることを確認する方法は、こちらを参照のこと。
例えば、上記の「２４３８１９５７６０」については、次のようにして確かめられる。
２、４、５、１０ の倍数であることは明らか。
２＋４＋３＋８＋１＋９＋５＋７＋６＋０＝４５ なので、３、９ の倍数である。
したがって、６、１２、１５、１８ の倍数となる。
よって、残りの ７、８、１１、１３、１４、１６、１７ の倍数になるかどうかを調べればよい。
７ の倍数であること ： ２−４３８＋１９５−７６０＝−１００１＝７×（−１４３）
より、７ の倍数である。
したがって、１４ の倍数であることもいえる。
８ の倍数であること ： ０/２＝０ を６に加えた数を２で割ると、３。これを７に加えて１０
これは、偶数なので、８の倍数となる。
（７６０/８＝９５ より、８の倍数とした方がいいですね！）
１１ の倍数であること ： ２−４＋３−８＋１−９＋５−７＋６−０＝１７−２８＝−１１
より、１１ の倍数である。
１３ の倍数であること ： ２−４３８＋１９５−７６０＝−１００１＝１３×（−７７）
より、１３ の倍数である。
１６ の倍数であること ： ５７６０/２＝２８８０＝８×３６０ より、１６ の倍数である。
１７ の倍数であること ： ６０×１−５７×２＋１９×４−３８×８＋２４×１６
＝６０−１１４＋７６−３０４＋３８４
＝５２０−４１８
＝１０２
＝１７×６
より、１７ の倍数である。
以上から、２４３８１９５７６０ は、２〜１８ の倍数である。
果たして１０桁の数で、このような性質を持つ数は、上記の２個しかないのであろうか？
これは、私はもちろんのこと、読者の方のための研究課題としておこう。
（追記） 上記では、皆さんの研究課題としましたが、少し時間に余裕が出てきたので、
コンピュータに計算させてみたところ、所要の性質を持つ数は、
２４３８１９５７６０ ４７５３８６９１２０
以外に、次の２つの数
３７８５９４２１６０ ４８７６３９１５２０
も該当することが判明しました。性質を満たす数はこの４個だけです。
冒頭の問題では、１０桁の整数で、２〜１８ の何れでも割り切れる数を探すものでしたが、
この問題を当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんが一般化されました。
（平成２８年８月２７日付け）
各位の異なる10桁の整数があります。この10桁の整数が2〜nのいずれでも割り切れるよ
うにします。その整数nの最大値とそのときの10桁の整数を求めなさい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年８月２７日付け）
nの最大値は18で、10桁の整数は、2438195760、3785942160、4753869120、4876391520
の4通りだと思います。
（コメント） 冒頭の問題の「２〜１８の何れでも割り切れる」という条件が、ギリギリの限界値
だったということがよく分かりました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年８月２９日付け）
よおすけさんの問題が面白かったので、少し改変して
各位の数に0〜9がそれぞれちょうど２度ずつ現れる20桁の整数があります。この20桁の
整数が2〜nのいずれでも割り切れるようにします。その整数nの最大値とそのときの20桁の
整数を求めて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年８月２９日付け）
nの最大値は40で、20桁の整数は、11978852326735694400 と 14281655784729933600 の
２通りだと思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年８月２９日付け）
さすが、らすかるさん！いち早く正解を出されます。ところで、0〜9が全て3度出現する30桁
に挑戦していたんですが、余りに計算範囲が広がってしまうので未だ見つけられずにいます。
もしよければ教えて下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年８月２９日付け）
0〜9が3回ずつ出現する30桁の数では、nの最大値は60で以下の5個です。
145612640987942683537915732800 、735980516778336415989224421600
750216172948394169357865324800 911663437613582849495072572800
951753913839266257041748826400
ちなみに、
0〜9が4回ずつ出現する40桁の数では、nの最大値は82で次の1個
2946583679438778553538017241194216209600
0〜9が5回ずつ出現する50桁の数では、nの最大値は102で以下の39個
0〜9が6回ずつ出現する60桁の数では、nの最大値は130で次の1個
809985429455538996760313811744526987724237861766304511232000
0〜9が7回ずつ出現する70桁の数では、nの最大値は150で以下の2個
1128165664948506404359662871957398289718947037287634952354071325312000
4837882392173610497062958406952119175826419633567328771936044845552000
まだまだいくらでもいけますが、きりがないのでここらへんでやめておきます。