最大値                                   戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (平成24年3月7日付け)

  複素数 z=3cosθ+i・sinθ に対して、y=θ-arg z (0<θ<π/2) の最大値とそのとき

 のθを求めよ。




































(答) 最大値 π/6 (θ=π/3)


 空舟さんが考察されました。(平成24年3月7日付け)

・加法定理で計算した場合: arg z = Arctan (sinθ/(3cosθ))= Arctan (tanθ/3)

 tan(θ-arg z)=(tanθ-tanθ/3)/(1+tanθ・tanθ/3)=2t/(3+t2) (t=tanθ)

 t は、-∞から∞までの値をとる。このとき、t= (θ=π/3) において、tan(θ-arg z) は、

最大値 1/ をとる。よって、θ-arg z の最大値は、π/6 となる。

・複素平面で考えてみると、単位円上の点P(x,y)と点Q(3x、y)の偏角の差Qは、単位円を左

 右に3倍に引きのばした楕円上にある。

・幾何的に微分をなんとか考えると、

 d∠POQ=d∠POX-d∠QOX

      =|(dx,dy)・(-y,x)/OP|/OP-|(d(3x),dy)・(-y,3x)/OQ|/OQ

      =√{(ydx)2+(xdy)2}/OP2 - 3√{(ydx)2+(xdy)2}/OQ2

 ここで、d∠POQ=0 とすると、√の中身は同じで、OP=1 だから、OQ= を得て、

 9x2+y2=3 、x2+y2=1 により、 (|x|,|y|)=(1/2,/2)

・t=tanθとおいた時の Arctan(t)-Arctan(t/3)の最大

・f(x)=1/(1+x2) を t/3 から t まで定積分した値の最大

・x=yt とおくと、 dx=tdy で、f(t,y)=t/(1+(yt)2) を 1/3 から 1 まで、yで積分した値の最大

 これは、

 1/π倍すると半減値γ=1/t をパラメーターとするコーシー分布にて、p (a≦X≦b) が最大

 ⇔ 半減値γ=√(ab) ⇔ このとき、f(√(ab)) も最大

となるようです。(天下りですが..)今回では、a=1/3、 b=1で、γ=1/、 t=

 実は、「畳み込み」の答えもコーシー分布です。それでちょっと思い出した次第です。


 よおすけさんによる解答です。(平成24年3月10日付け)

 加法定理により、 tan(θ-argz)=(tanθ-tan(argz))/(1+tanθ・tan(argz))

 ここで、θ≠π/2 だから、 tan(argz)=sinθ/3cosθ=(1/3)tanθ

 よって、tan(θ-argz)=(tanθ-(1/3)tanθ)/(1+tanθ・(1/3)tanθ)

             =(2/3)tanθ/(1+(1/3)・tan2θ)

             =(2/3)/((1/tanθ)+(tanθ)/3)

 相加平均・相乗平均の関係から、 1/tanθ+(tanθ)/3≧2√{(1/tanθ)・tanθ/3}=2/

 これより、 tan(θ-argz)≦1/

 ここで、等号が成り立つ条件は、 (1/tanθ)=(tanθ)/3 より、 tan2θ=3

 よって、 tanθ=± で、0<θ<π/2 より、θ=π/3

 以上から、θ=π/3 のとき、tan(θ-argz)の最大値は、1/ となり、その時、y=θ-argz

の最大値はπ/6 となる。