最大値　　　　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年３月７日付け）

　 複素数　ｚ=3cosθ+i・sinθ　に対して、ｙ=θ-arg ｚ　(0＜θ＜π/2)　の最大値とそのとき

　のθを求めよ。




































（答）　最大値　π/６　（θ＝π/３）


　空舟さんが考察されました。（平成２４年３月７日付け）

・加法定理で計算した場合：　arg z = Arctan (ｓｉｎθ/（3ｃｏｓθ）)= Arctan (ｔａｎθ/3)

　tan(θ-arg z)=(tanθ-tanθ/3）/(1+tanθ・tanθ/3)=2t/(3+t²)　（ｔ=tanθ）

　t は、-∞から∞までの値をとる。このとき、t＝ (θ=π/3) において、tan(θ-arg z) は、

最大値　1/　をとる。よって、θ-arg z の最大値は、π/6　となる。

・複素平面で考えてみると、単位円上の点P(ｘ，ｙ)と点Q(3ｘ､ｙ)の偏角の差Qは、単位円を左

　右に3倍に引きのばした楕円上にある。

・幾何的に微分をなんとか考えると、

　d∠POQ＝d∠POX-d∠QOX

　　　　　　＝|(dｘ，dｙ)・(-ｙ，ｘ)/OP|/OP-|(d(3ｘ)，dｙ)・(-ｙ，3ｘ)/OQ|/OQ

　　　　　　＝√{(ｙdｘ)²+(ｘdｙ)²}/OP² - 3√{(ｙdｘ)²+(ｘdｙ)²}/OQ²

　ここで、d∠POQ＝0　とすると、√の中身は同じで、OP=1　だから、OQ＝　を得て、

　9ｘ²+ｙ²＝3　、ｘ²+ｙ²＝1 により、　(|ｘ|，|ｙ|)=(1/2，/2)

・t=tanθとおいた時の　Arctan(t)-Arctan(t/3)の最大

・f(ｘ)＝1/(1+ｘ²) を t/3 から t まで定積分した値の最大

・ｘ=ｙｔ とおくと、　dｘ＝tdｙ で、f(t，ｙ)＝t/(1+(ｙｔ)²) を 1/3 から 1 まで、ｙで積分した値の最大

　これは、

　1/π倍すると半減値γ=1/t をパラメーターとするコーシー分布にて、ｐ (ａ≦X≦ｂ) が最大

　⇔ 半減値γ＝√（ab）　⇔ このとき、f(√（ab）) も最大

となるようです。(天下りですが..)今回では、a=1/3、 b=1で、γ＝1/、 t=

　実は、「畳み込み」の答えもコーシー分布です。それでちょっと思い出した次第です。


　よおすけさんによる解答です。（平成２４年３月１０日付け）

　加法定理により、　tan(θ-argz)=(tanθ-tan(argz))/(1+tanθ・tan(argz))

　ここで、θ≠π/2　だから、　tan(argz)=sinθ/3cosθ=(1/3)tanθ

　よって、tan(θ-argz)=(tanθ-(1/3)tanθ)/(1+tanθ・(1/3)tanθ)

　　　　　　　　　　　　　=(2/3)tanθ/(1+(1/3)・tan²θ)

　　　　　　　　　　　　　=(2/3)/((1/tanθ)+(tanθ)/3)

　相加平均・相乗平均の関係から、　1/tanθ+(tanθ)/3≧2√｛(1/tanθ)・tanθ/3}=2/

　これより、　tan(θ-argz)≦1/

　ここで、等号が成り立つ条件は、　(1/tanθ)=(tanθ)/3　より、　tan²θ=3

　よって、　tanθ=±　で、0＜θ＜π/2　より、θ=π/3

　以上から、θ=π/3　のとき、tan(θ-argz)の最大値は、1/　となり、その時、y=θ-argz

の最大値はπ/6　となる。