道のり　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年１月１２日付け）

　座標平面上を運動する点Pの、出発してから ｔ 秒後の速度ベクトル ｖ が

　　ｖ = ( -πcos²(πt/3)×sin(πt/3) ，πsin²(πt/3)×cos(πt/3) )

のとき、Pは、どのような曲線上を運動しているだろうか。

　また、出発してから6秒間にPが通過する道のりを求めよ。

































（答）　Ｐ（ｘ，ｙ）について、　ｄｘ/ｄｔ＝-πcos²(πt/3)×sin(πt/3)　より、　ｘ＝cos³(πt/3)＋Ｃ

　同様にして、　ｄｙ/ｄｔ＝πsin²(πt/3)×cos(πt/3)　より、　ｙ＝sin³(πt/3)＋Ｄ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｃ、Ｄは任意定数）

　ｔ=0　のとき、点Ｐが点（1，0）にあるとして、　ｘ＝cos³(πt/3)　、ｙ＝sin³(πt/3)

　よって、点Ｐは、アステロイド　ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝１　上を動く。

　また、出発してから6秒間にPが通過する道のりは、「星芒形」の公式により、６ となる。


　空舟さんが考察されました。（平成２６年１月１５日付け）

　(ｘ，ｙ) = (cos³(πt/3)，sin³(πt/3))　というのが ｖ の原始関数の1つになりますので、

ｘ^2/3＋ｙ^2/3＝１　という形の曲線になりますでしょうか。道のりの計算は、正直に式を書くな

らば、√{(dx/dt)² + (dy/dt)²} を t=0 から 6 まで定積分でしょう。

　実際には、π|sin(πt/3)cos(πt/3)| の定積分となりまして、正弦の倍角の公式と絶対値の

処理をすると、（答え）=6　を得ます。


（コメント）　空舟さん、解答ありがとうございます。答えが一致して安心しました！