道のり                                   戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成26年1月12日付け)

 座標平面上を運動する点Pの、出発してから t 秒後の速度ベクトル

   = ( -πcos2(πt/3)×sin(πt/3) ,πsin2(πt/3)×cos(πt/3) )

のとき、Pは、どのような曲線上を運動しているだろうか。

 また、出発してから6秒間にPが通過する道のりを求めよ。

































(答) P(x,y)について、 dx/dt=-πcos2(πt/3)×sin(πt/3) より、 x=cos3(πt/3)+C

 同様にして、 dy/dt=πsin2(πt/3)×cos(πt/3) より、 y=sin3(πt/3)+D

                                           (C、Dは任意定数)

 t=0 のとき、点Pが点(1,0)にあるとして、 x=cos3(πt/3) 、y=sin3(πt/3)

 よって、点Pは、アステロイド x2/3+y2/3=1 上を動く。

 また、出発してから6秒間にPが通過する道のりは、「星芒形」の公式により、6 となる。


 空舟さんが考察されました。(平成26年1月15日付け)

 (x,y) = (cos3(πt/3),sin3(πt/3)) というのが の原始関数の1つになりますので、

2/3+y2/3=1 という形の曲線になりますでしょうか。道のりの計算は、正直に式を書くな

らば、√{(dx/dt)2 + (dy/dt)2} を t=0 から 6 まで定積分でしょう。

 実際には、π|sin(πt/3)cos(πt/3)| の定積分となりまして、正弦の倍角の公式と絶対値の

処理をすると、(答え)=6 を得ます。


(コメント) 空舟さん、解答ありがとうございます。答えが一致して安心しました!