下図のような長方形ＡＢＣＤがある。Ｍは辺ＡＤの中点である。
ＢＣ＝２、∠ＢＭＣ＝３６°のとき、辺ＡＢの長さを求めよ。
（答） 問題の図を見た瞬間に、下図のように補助線を引いて、相似な三角形を作るのは
定石だろう。（参考→ 「正５角形の作図と折り紙」）
このとき、ＭＢ＝ｘ とおけば、 ＥＣ＝ｘ−２ なので、△ＭＢＣ∽△ＢＣＥ より、
ｘ ： ２＝２ ： ｘ−２ から、 ｘ2−２ｘ−４＝０ よって、 ｘ＝１＋
よって、 ＡＢ2＝ｘ2−１＝５＋２
より、 ＡＢ＝√（５＋２） （終）大人気ないが、三角関数を用いれば、次のように解かれるだろう。
（別解） ∠ＡＭＢ＝７２° なので、 ７２°＝θ とおくと、 ５θ＝３６０°より、
３θ＝３６０°−２θ
よって、 ｓｉｎ３θ＝ｓｉｎ（３６０°−２θ）＝−ｓｉｎ２θ から、
３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ3θ＝−２ｓｉｎθｃｏｓθ
ｓｉｎθ≠０ なので、 ３−４ｓｉｎ2θ＝−２ｃｏｓθ 即ち、３−４（１−ｃｏｓ2θ）＝−２ｃｏｓθ
より、 ４ｃｏｓ2θ＋２ｃｏｓθ−１＝０ から、 ｃｏｓθ＝（−１＋
）/４このとき、 ｔａｎ2θ＝１/ｃｏｓ2θ−１＝５＋２
より、 ｔａｎθ＝√（５＋２）したがって、 ＡＢ＝ｔａｎθ＝√（５＋２
） （終）以下、工事中！