下図のような四角形ＡＢＣＤがある。
このとき、線分ＡＢの長さを求めよ。
（答） 問題の図を見た瞬間に、下図のように補助線を引いて、正三角形ＡＢＥを作るのは
定石だろう。
このとき、ＡＢ＝ｘ とおけば、 ＥＤ＝ｘ－５ 、ＥＣ＝ｘ－８ なので、余弦定理より、
７2＝（ｘ－５）2＋（ｘ－８）2－２・（ｘ－５）（ｘ－８）ｃｏｓ６０°
よって、 ｘ2－１３ｘ＝０ を解いて、 ｘ＝１３ （終）
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年６月９日付け）
この問題の作問の背景には、「花見・名古屋・七五三」があるのだと思いました。
具体的には、この種の問題に慣れている人にとっては、《△ＣＤＥの各辺の長さは、「名古
屋」になっているのでは》と、アタリがつくということになります。
（→ 参考：「辺と角の美しい関係Ⅱ」）
らすかるさんからのコメントです。（令和４年６月９日付け）
(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2 という計算から、3辺が 5、7、8 の三角形の 5 と 8 の辺で挟
まれる角の角度は60°とわかる。(既知とすれば計算不要)
図の形は、３辺が 5、7、8 の三角形の 5 の辺と 8 の辺の外側に、それぞれ正三角形を
くっつけた形なので、 AB=5+8=13。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年６月９日付け）
図での AD=a、BC=b、CD=c、AB=x とおいて、この４つが整数となれる組合せ調べたら、
(a,b,c)=(1,4,7) -> x=9
=(2,5,7) -> x=10
=(3,6,7) -> x=11
=(4,7,7) -> x=12
=(5,8,7) -> x=13
=(6,9,7) -> x=14
=(7,10,7) -> x=15
･････････････
一般に、 (a,b,c)=(n,n+3,7) -> x=n+8 (n=1,2,3,･･･)
または、
(a,b,c)=(1,6,7) -> x=9
=(2,7,7) -> x=10
=(3,8,7) -> x=11
=(4,9,7) -> x=12
=(5,10,7) -> x=13
=(6,11,7) -> x=14
=(7,12,7) -> x=15
･････････････
一般に、 (a,b,c)=(n,n+5,7) -> x=n+8 (n=1,2,3,･･･)
c=7 と設定しておくことがポイントになりそうです。
（コメント） ＧＡＩ さんが調べられた、いろいろなパターン、参考になります。これらを用いて
作問出来そうです。
DD++ さんからのコメントです。（令和４年６月１０日付け）
c=13 や c=19 でも可能なのでは。おそらく、6n+1 型素因数を少なくとも 1 つ持っていること
が条件じゃないでしょうか。
（コメント） 例えば、(a,b,c)=(15,8,13) だと x=23 と定まりますね！らすかるさんの「正三角
形をくっつけた形」を考えれば、簡単に、たくさん作れるようです。
AD=a、BC=b、CD=c、AB=x=a＋b において、
ｃ2＝ａ2＋ｂ2－ａｂ
が成り立つように、整数 ａ、ｂ、ｃ を定めればよい。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（令和４年６月１１日付け）
確かに、6*n+1型の数は、
7^2=3^2+8^2-3*8=5^2+8^2-5*8
13^2=7^2+15^2-7*15 => (a,b,c)=(n,n+8,13) -> x=n+15 (n=1,2,3,･･)
13^2=8^2+15^2-8*15 => (a,b,c)=(n,n+7,13) -> x=n+15 (n,1,2,3,･･) が構成できる。
19^2= 5^2+21^2- 5*21 => (a,b,c)=(n,n+16,19) -> x=n+21 (n=1,2,3,･･)
19^2=16^2+21^2-16*21 => (a,b,c)=(n,n+5,19) -> x=n+21 (n=1,2,3,･･)
25^2=25^2+25^2-25*25(これは例外）
31^2=11^2+35^2-11*35 => (a,b,c)=(n,n+24,31) -> x=n+35 (n=1,2,3,･･)
31^2=24^2+35^2-24*35 => (a,b,c)=(n,n+11,31) -> x=n+35 (n=1,2,3,･･)
以下同様
37^2= 7^2+40^2-7*40=33^2+40^2-24*40
43^2=13^2+48^2-13*48=35^2+48^2-35*48
49^2=16^2+55^2-16*55=39^2+55^2-39*55
･･････････
と、60°の角度を有する三角形の三辺を与えていく２組を与えてくれますね。