左図のような１辺の長さが１の正方形を、８個の小正方形に分割したい。
小正方形の大きさは、それぞれ異なってもよい。どのよ
うに分割すればいいだろうか？
（答）
とか、
が考えられる。１辺の長さが１だと考えにくいので、４×４ の正方形とすると、前者が得られる。５×５ の
正方形として、２５という数字を平方数に分割して、２５＝３2・１＋２2・３＋１2・４、・・・・・・・・。
こんなことを考えながら、我が家のお風呂に入って、ピンクのタイルをぼんやり眺めていた
ら、後者が思い浮かんだ。６×６、７×７の正方形も検討したが、答は見い出せなかった。
もっと検証すれば、さらに答があるかもしれない。他の解を見つけられた方、こちらまでメ
ール下さい。
（追記） 後者の変形として、次の場合も考えられる。
パズルが好きな方に、この問題を検証してもらった。「８個の小正方形への分割」は、お
そらく上記の６種類だろうとのこと。もっと違うタイプが見つかったら、こちらまでメール下さ
い。
（追記） 上記の問題に関連して、いくつか考察してみた。（平成２５年６月２３日付け）
正方形をいくつかの小正方形に分割と聞いたら、すぐ「対辺の中点同士を結んで分割され
た４つの小正方形」を思い浮かべる方が多いと思う。
ところで、「２つの小正方形」に分割できないことは図形的に納得できるが、「３つの小正方
形」に分割できるかどうか、多分できないと思われるが悩ましい。「不可能の証明」の岡 潔先
生の心境だ。また、「５つの小正方形」に分割できるか？と問われると、即答は難しい。
（追記） 平成２６年３月１９日付け
上記で、「『３つの小正方形』に分割できるかどうか、多分できないと思われるが悩ましい。」
と吐露しましたが、次のようにして示されることに最近気づかされた。
（証明） 起こりえるのは、大きな小正方形の上に、合同な小正方形が２つ並ぶ場合である。
このとき、合同な２つ小正方形が存在する限り、３つの小正方形を組み合わせた図形が
正方形になることはない。
よって、正方形を３つの小正方形に分割することは不可能である。 （証終）
「『５つの小正方形』に分割できるか？」という問いかけに対して、当ＨＰ読者のＨＮ「Ｙ．Ｉ．」
さんが否定的に解決されました。一部文言等を修正させていただきました。よろしくご了承く
ださい。（平成２６年３月１８日付け）
（証明） 正方形を５つの正方形に分割できると仮定する。元の正方形の辺の長さをｎとする。
隅にある４つの正方形A、B、C、Dのそれぞれの辺の長さを、a、b、c、d とする。
５つ目の正方形Eは、元の正方形の辺に接しているか、接していないかのどちらかである。
・接している場合
Ｅは、２つ以上の辺に接していることはない。
実際に、Ｅが、２つ以上の辺に接しているとするとき、残りのスペースを埋めるには、対称
性から、必ず奇数個必要なので、４個（偶数個）の小正方形で埋め尽くすことは不可能であ
る。
そこで、Ｅは、１つの辺に接しているものとする。対称性により、ＥはAとBの間にあると考え
てよい。
Ｅの辺の長さをｅとすると、 ａ=ｂ=e で、c=ｄ=2ｅ とならなければならないが、4ｅ=3ｅ 即ち
e=0 となり、これは矛盾である。
・接していない場合
この場合、a+b=b+c=c+d=d+a=n が成り立つ。a+b=b+c より、a=c。同様に、b=d。A、B、C、D
の面積の合計は、2ａ2+2ｂ2 ・・・ (1)
一方、元の正方形の面積は、(ａ+ｂ)2 = ａ2+2ａｂ+ｂ2 ・・・ (2)
よって、Ｅの面積は、(2) -(1)より、2ab-(ａ2+ｂ2)=-(a - b)2＜0 となる。これは矛盾である。
（相加・相乗の平均の関係から、ａ2+ｂ2≧2√（ａ2ｂ2）＝2ａｂ としてもよい。）
つまり、５つの小正方形への分割は不可能である。 （証終）
ところで、「６つの小正方形」、「７つの小正方形」に分割できることは明らかだろう。
「８つの小正方形」に分割できることは上記の問題から明らかである。
ＹＩ さんからのコメントです。（平成２６年３月２０日付け）
「分割パズル」について、２・３・５個への分割が不可能なことがわかりましたが、それ以外
の個数への分割は必ず可能なことがわかりました。
（証明） 正方形をｎ個に分割できると仮定する。元の正方形を４個に分割（これが可能であ
ることは既知）して、そのうち一つをｎ個に分割する。すると、全体としては、ｎ＋３個に
分割されたことになる。
したがって、n個の分割が可能な時、n+3個への分割が可能である。また、６、７、８
個への分割は可能である。
よって、６以上のすべての整数について分割が可能である。 （証終）
従って、「９つの小正方形」に分割することも当然可能であるが、次の条件を満たす分割方
法を問われたらどうだろう？難易度が急にあがった感じがすると思う。
（１） １辺の長さが１/３の小正方形をちょうど４個だけ含むような分割方法は如何？
（２） １辺の長さが１/３の小正方形をちょうど１個だけ含むような分割方法は如何？
（答え） （１） （２）
面積に注目すると、例えば、「対辺の中点同士を結んで分割した４つの小正方形」は、
１＝４（１/４）
と表される。上記の「６つの小正方形」、「７つの小正方形」は、それぞれ
１＝１（４/９）＋５（１/９） 、 １＝３（１/４）＋４（１/１６）
と表される。このように面積に注目すると、直感的に不可能と判断される「２つの小正方形分
割」も、代数的に不可能と示す方法が見つかるかもしれない。
以下、工事中！