当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年９月１８日付け）
次の等式 ： 2sin40°+3sin80°+・・・+9sin320°=-9/(2tan20°) が成り立つことを示せ。
（出典：2003年 京都大学 後期文系問題5(2)）
この年の京都大の複素数の問題は、前期理系の問題４
多項式（ｘ100＋１）100＋（ｘ2＋１）100＋１はｘ2＋ｘ＋１で割り切れるか。
が有名で、こちらの方はあまり目立っていませんが・・・。（→ 参考：「オメガ（ω）の真実」）
（答） 空舟さんが考察されました。（平成２５年９月１８日付け）
w = e2πi/9 とおくと、w9=1 です。左辺は、1+2w+3w2+・・・+9w8 の虚部に相当します。
虚部ということは、 (共役との差) / 2i で計算されます。
{(1+2w+3w2+・・・+9w8 )-(1+2w8+3w7+・・・+9w)}/2i
= (-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)/2i
ここで、右辺 = (9/2)/tan(160°) であり、
tan160° = w4の虚部/実部 = (w4-w5)/2i /(w4+w5)/2 = (1-w)/(1+w)/i
よって、 右辺 = (9/2){(1+w)/(1-w)}・i
以上から、(左辺)-(右辺)
= (-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)/2i - (9/2){(1+w)/(1-w)}・i
={(-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)(1-w) + 9(1+w)} / 2i
={(-7w+2w2+2w3+2w4+2w5+2w6+2w7+2w8-7) + (9+9w)} / 2i
=(1+w+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8)/i
=0
（コメント） 空舟さん、解答ありがとうございます。別解を考えてみました。
（証明） ｚ＝ｃｏｓ40°＋ｉ・ｓｉｎ40°とおき、Ｓ＝２ｚ＋３ｚ2＋４ｚ3＋・・・＋９ｚ8 おくと、
ｚ・Ｓ＝２ｚ2＋３ｚ3＋・・・＋８ｚ8＋９ （← ｚ9＝１ に注意）
辺々引いて、 （１−ｚ）Ｓ＝２ｚ＋ｚ2＋ｚ3＋・・・＋ｚ8−９
＝ｚ＋ｚ（１−ｚ8）/（１−ｚ）−９＝ｚ＋（ｚ−１）/（１−ｚ）−９＝ｚ−１０
よって、 与式＝Ｉｍ（Ｓ）＝Ｉｍ（（ｚ−１０）/（１−ｚ））
ここで、
（ｚ−１０）/（１−ｚ）＝（ｃｏｓ40°−１０＋ｉ・ｓｉｎ40°）/（１−ｃｏｓ40°−ｉ・ｓｉｎ40°） なので、
与式＝Ｉｍ（Ｓ）
＝｛（1-ｃｏｓ40°）ｓｉｎ40°+（ｃｏｓ40°-10）ｓｉｎ40°｝/｛（1-ｃｏｓ40°）2+ｓｉｎ240°｝
＝-9ｓｉｎ40°/（2-2ｃｏｓ40°）＝-9ｓｉｎ20°ｃｏｓ20°/2ｓｉｎ220°＝-9/（2ｔａｎ20°） （証終）