複素数のn乗4                               戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成25年9月18日付け)

 次の等式 : 2sin40°+3sin80°+・・・+9sin320°=-9/(2tan20°) が成り立つことを示せ。
                           (出典:2003年 京都大学 後期文系問題5(2))

 この年の京都大の複素数の問題は、前期理系の問題4

  多項式(x100+1)100+(x2+1)100+1はx2+x+1で割り切れるか。

が有名で、こちらの方はあまり目立っていませんが・・・。(→ 参考:「オメガ(ω)の真実」)

































(答) 空舟さんが考察されました。(平成25年9月18日付け)

 w = e2πi/9 とおくと、w9=1 です。左辺は、1+2w+3w2+・・・+9w8 の虚部に相当します。

 虚部ということは、 (共役との差) / 2i で計算されます。

 {(1+2w+3w2+・・・+9w8 )-(1+2w8+3w7+・・・+9w)}/2i

= (-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)/2i

 ここで、右辺 = (9/2)/tan(160°) であり、

 tan160° = w4の虚部/実部 = (w4-w5)/2i /(w4+w5)/2 = (1-w)/(1+w)/i

 よって、 右辺 = (9/2){(1+w)/(1-w)}・i

 以上から、(左辺)-(右辺)
       = (-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)/2i - (9/2){(1+w)/(1-w)}・i
       ={(-7w-5w2-3w3-w4+w5+3w6+5w7+7w8)(1-w) + 9(1+w)} / 2i
       ={(-7w+2w2+2w3+2w4+2w5+2w6+2w7+2w8-7) + (9+9w)} / 2i
       =(1+w+w2+w3+w4+w5+w6+w7+w8)/i
       =0


(コメント) 空舟さん、解答ありがとうございます。別解を考えてみました。

(証明) z=cos40°+i・sin40°とおき、S=2z+3z2+4z3+・・・+9z8 おくと、

  z・S=2z2+3z3+・・・+8z8+9  (← z9=1 に注意)

 辺々引いて、 (1−z)S=2z+z2+z3+・・・+z8−9

               =z+z(1−z8)/(1−z)−9=z+(z−1)/(1−z)−9=z−10

 よって、 与式=Im(S)=Im((z−10)/(1−z))

 ここで、

(z−10)/(1−z)=(cos40°−10+i・sin40°)/(1−cos40°−i・sin40°) なので、

与式=Im(S)

={(1-cos40°)sin40°+(cos40°-10)sin40°}/{(1-cos40°)2+sin240°}

=-9sin40°/(2-2cos40°)=-9sin20°cos20°/2sin220°=-9/(2tan20°)  (証終)