令和２年２月１４日（金）に神奈川県公立高校入試が行われ、その問題が翌日の朝刊に
掲載された。面積計算で面白そうな問題があったので挑戦してみた。
平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝１５、ＡＤ＝２５とする。Ａより辺ＢＣに垂線ＡＥを下ろす。
ＡＤ上にＡＦ＝１５となる点Ｆをとる。線分ＢＦとＡＥ、ＡＣの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。
また、∠ＢＡＨ＝９０°とする。
このとき、△ＡＧＨの面積を求めよ。（一部改題）
（答）
題意より、 △ＡＢＦは２等辺三角形で、 ∠ＡＢＦ＝∠ＡＦＢ
また、ＡＤとＢＣは平行なので、∠ＡＦＢ＝∠ＦＢＣ より、 ∠ＡＢＦ＝∠ＦＢＣ
よって、ＢＦは∠ＡＢＣの２等分線となり、ＡＨ：ＨＣ＝１５：２５＝３：５
ＡＣ＝２０ より、 ＡＨ＝２０×（３/８）＝１５/２
△ＢＡＨ≡△ＦＡＨ なので、 ＡＧ＝１５/２
よって、△ＢＡＨ＝１５×（１５/２）×（１/２）＝２２５/４ となるので、
△ＡＧＨ＝△ＢＡＨ＋△ＦＡＨ−△ＡＢＦ＝２２５/２−△ＡＢＦ
一方、平行四辺形ＡＢＣＤの面積は、 １５×２０＝３００ なので、
△ＡＢＦ＝１５０×（１５/２５）＝９０
以上から、 △ＡＧＨ＝２２５/２−９０＝４５/２ となる。 （終）
（コメント） 上記の計算で、角の２等分線の性質を使っているが、この事実を中学生が全員
教わっているのかどうか、少し不安．．．。もしかしたらもっと別な求め方があるの
かもしれない。
角の２等分線の性質によらない別解を考えてみた。
（別解） ＡＣ＝２０ で、ＡＨ：ＨＣ＝１５：２５＝３：５ より、 ＡＨ＝２０×（３/８）＝１５/２
よって、△ＡＢＨ＝１５×（１５/２）×（１/２）＝２２５/４
また、 △ＡＢＣ＝１５×２０×（１/２）＝２５×ＡＥ×（１/２） より、 ＡＥ＝１２、ＥＣ＝１６
このとき、 ＡＧ：ＧＥ＝１５：９＝５：３ なので、
△ＡＢＧ＝９×１２×（１/２）×（５/８）＝１３５/４
よって、 △ＡＧＨ＝２２５/４−１３５/４＝９０/４＝４５/２ （終）
（コメント） 中学生向けには多分こちらの方が本解でしょう。
DD++さんからのコメントです。（令和２年２月１５日付け）
ＡＧ：ＧＥ＝５：３ 、ＡＨ：ＨＣ＝３：５ から、△AGH＝(１５/６４)△AEC＝４５/２
が作問者の意図した解法でしょうかね。他にもいろんな方法がありそうですけども。
（コメント） なるほど、そういう手もありますね！DD++さんに感謝します。
らすかるさんからのコメントです。（令和２年２月１５日付け）
ＡＨ：ＨＣは、 △ＨＦＡ∽△HBC から、ＡＨ：ＨＣ＝ＦＡ：ＢＣ＝３：５ でもいいですね。
他には、
△ＡＢＥ∽△ＣＢＡ から、 ＢＥ：ＡＥ：ＡＢ＝ＢＡ：AC：ＣＢ＝３：４：５ なので、
ＢＥ＝９、ＡＥ＝１２
ＢＧ：ＧＦ＝ＢＥ：ＦＡ＝３：５ で、 △ABH≡△AFG から、ＢＧ＝ＦＨ なので、
ＢＧ：ＧＨ：ＨＦ＝３：２：３
よって、 △ＡＧＨ＝(ＧＨ/ＢＦ)△ＡＢＦ＝(１/４)(１５×１２÷２)＝４５/２
＃ これは大きい数が出てきませんので計算しやすいです。
（コメント） 別解もますます磨きがかかって洗練されてきましたね！らすかるさんに感謝しま
す。
よおすけさんからのコメントです。（令和２年２月１５日付け）
数学感動秘話「面積比」も参考にどうぞ。
（コメント） 問題の趣旨は全く同じですね！よおすけさんに感謝します。