角の大きさ（８）　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２６年２月２１日付け）

　座標平面上に２点A(17，19)、B(37，)がある。Oを原点とするとき、∠AOBを求めよ。









































（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２６年２月２２日付け）

(解法１)　17×37+19×=686　、17×(-)+19×37=686

　　　　C(686，686)　とすると、OCとx軸のなす角は、60°なので、∠AOB=60°


（コメント）　らすかるさんの(解法１)は若干補足が必要だろう。

　２つのベクトル ａ＝(17，19)　、ｂ＝(37，)　のなす角をθとする。このとき、ａ　、ｂ
で定まる平行四辺形の面積をＳとおくと、面積の公式から、

　　Ｓ²＝｜ａ｜²｜ｂ｜²−（ａ・ｂ）²＝（ａ・ｂ）²（｜ａ｜²｜ｂ｜²/（ａ・ｂ）²−１）

　　　 ＝（ａ・ｂ）²（１/ｃｏｓ²θ−１）＝（ａ・ｂ）²ｔａｎ²θ　より、　ｔａｎθ＝Ｓ/｜ａ・ｂ｜

　ところで、　Ｓ＝｜ａ×ｂ｜　（←　２つのベクトル ａ　、ｂ の外積の絶対値）　なので、

次の公式が得られる。らすかるさんは多分この公式を使われたような．．．雰囲気！

　　２つのベクトル ａ　、ｂ のなす角をθとするとき、　ｔａｎθ＝｜ａ×ｂ｜/｜ａ・ｂ｜

　したがって、　｜ａ・ｂ｜＝17×37+19×=686

　　　　　　　　　｜ａ×ｂ｜＝17×(-)+19×37=686

　より、　ｔａｎθ＝　となり、　θ＝６０°が示される。


　ただ、正接（ｔａｎ）を使うのであれば、次の解答の方が自然と思われる。

　　∠ｘＯＡ＝α　、∠ｘＯＢ＝β　とおく。このとき、　∠ＡＯＢ＝θ＝α−β

　よって、正接の加法定理により、

　　　ｔａｎθ＝ｔａｎ（α−β）＝（ｔａｎα−ｔａｎβ）/（１＋ｔａｎαｔａｎβ）

　　　　　 　＝（19/17−/37）/（１＋19/17・/37）

　　　　　 　＝（37×19−17）/（17×37＋19・）＝686/686＝

　したがって、　θ＝６０°


(解法2)　OA²=17²+19²×3=1372　、OB²=37²+3=1372　、AB²=20²+18²×3=1372

　　　　よって、△OABは正三角形なので、∠AOB=60°


　よおすけさんから解答を頂きました。（平成２６年２月２２日付け）

　らすかるさん、ご解答ありがとうございます。解法2が一番簡明ですね。せっかく書いたの
で、自分も・・・。

　題意から、OA=(17，19)、OB=(37，)　であるから、内積の公式を用いれば、

　　OA・OB=17×37+19×=686　、|OA|=|OB|=√1372

より、　cos∠AOB=686/1372=1/2　で、　0＜∠AOB＜πより、　∠AOB=π/3


　Ｓ（Ｈ）さんから解答を頂きました。（平成２６年２月２２日付け）

　{{ｃｏｓθ， -ｓｉｎθ}， {ｓｉｎθ， ｃｏｓθ}}・（17， 19） ＝ （37， ）

例えば、　θ＝−π/3　とすると、

　左辺＝（1/2）{{1， }， {-， 1}}・（17， 19）
　　　　＝（1/2）（17+57， −17+19）=（37， ）=右辺

　よって、　∠AOB=π/3


　よおすけさんから追加の解答を頂きました。（平成２６年２月２２日付け）

　３点A、O、Bは、複素数平面上ではそれぞれ、A(17+19i)、 O(0)、B(37+i)に対応しま
す。点A、Bを表す複素数をそれぞれα、βとすると、偏角は、∠AOB=arg(α/β)　と表され
ます。

　α=17+19i、β=37+i　ですから、

　arg｛（17+19i）/（37+i）｝=arg｛（686+686i）/1372｝=arg｛（1+i）/2｝=π/3＋2nπ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(nは整数)

より、∠AOB=(π/3)＋2nπ(nは整数)

　A、Bは第一象限の点だから、0＜∠AOB＜πより、∠AOB=π/3