屈折する理由　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　いつも会合に使っている所が使えず、今日（２００３．８．１８）は、横浜ランドマークタワーに
会場を移して会合をもった。朝から雨模様で、桜木町駅をおりて動く歩道前でランドマークタ
ワーを見上げたら、中層階位から雲ですっぽり覆われていて、最上階が見えなかった。もし、
晴れていたら、最上階の展望室に行って（有料）、横浜の景観を楽しもうと計画していたが、
残念ながら出来なかった。

　会合の休み時間に、ふとしたことがきっかけで、「なぜ、光は屈折するのか？」ということが
話題になった。数学的にも興味あるテーマなので、ここで、まとめておきたいと思う。

　光は、２つの異なった媒質の境界面に到達すると、一般にはその境界面で方向を変えて
進む。これが、光の屈折という現象である。

　このような現象は、水の入ったコップの中に箸を入れたときとかでも観察することができる。

　　　　　　　　　　　　　

　いくつか言葉を確認しよう。

　　左図において、

　　（１）　入射光線と屈折光線は同一平面上。
　　
　　（２）　入射角と屈折角の正弦比は一定。
　　　　　（比例定数を、（相対）屈折率という。）

　　が言える。（屈折の法則）

　　　この屈折の法則は、Ｓｎｅｌｌ により、１７世
　　紀初頭に発見された。





　　媒質�Tを空気（真空）としたとき、媒質�Uが水の場合の屈折率は、大体　４/３ ぐらい
　ガラスの場合は、大体　３/２ ぐらいである。

　光の屈折は、どうして起こるのか、そして、屈折の法則（２）はなぜ成り立つのか、などは、
実は、次のホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理によって説明される。

　この原理は、光は波であるという立場で述べられる。（ホイヘンスの波動説）
上記で述べた屈折の法則は、経験的法則であるが、この法則を合理的に説明するために、
ホイヘンスは、この原理を提唱した。（１６７８年）
　１８０７年のヤングの干渉実験により、光の波動性が確認されている。
　　　　　　　　　　　（参考文献：小澤秀雄　著　光学と眼科機器から未来へ　（学士会会報））


　　ホイヘンス（Ｈｕｙｇｅｎｓ）の原理

　 　波は波源から媒質を通して伝搬されるが、
　　１つの波面上の全ての点は、新たな波源
　　となって、同じ速度、同じ振動数の小波を
　　出す。個々の小波は観測されず、これら
　　の小波の波面に共通に接する曲面が、そ
　　の後の波面として観測される。

　　　波の進行方向は波面を垂直につないだ
　　線になる。









　このホイヘンスの原理を用いれば、波の伝搬速度の変化として、屈折の起こる理由が説明
される。

　一般に、波源に対して、その波面は球面（球面波）であるが、波源が十分遠くにある、または、
波面の十分小さい部分で考えるとすれば、波面は平面（平面波）であるとしてよい。

　　　　　　　　　　　

　上図は、光が境界面上の点Ａに達してから、Ａと同じ波面上にあった点Ｄが境界面上の点Ｂ
に達するまでの波の伝搬の様子を模したものである。

　上図から分かるように、媒質�Uにおける波の伝搬速度が、媒質�Tにおけるものと同じならば、
点Ａは点Ｃに伝わり、屈折は起こらない。

　これに対して、媒質�Uにおける波の伝搬速度が、遅ければ、点Ｅに伝わり、速ければ、点Ｆ
に伝わり、明らかに屈折している。詳しくは、円と接線の関係により説明される。

　いま、屈折光線が直線ＡＥの場合を考える。
入射角を θ、屈折角を ｒ とすると、上図において、∠ＢＡＤ＝θ、∠ＡＢＥ＝ｒ であるので、

　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　　　　　　

　　各媒質中の波の伝搬速度は一定なので、上式の右辺は定数となる。
　したがって、入射角と屈折角の正弦比は一定であることが示された。

　空気中と水中との速さを比べると、光は水中の方が遅く、音は水中の方が速い。

　したがって、光が空気中から水の中へ進むとき、上図で言えば、点Ａから点Ｅへ至る軌跡を
描くことになる。また、プールで水中に潜っているとき、割と近くで水上から声を掛けられても、
遠くからのものと感じられるということにも合点がいく。

　ところで、冒頭のコップの中の箸は、水中部分が浮き上がって見える。
これは、次のように説明される。

　　　光線逆進の原理から、水中部分の箸は、左図の
　　ように屈折して、目に達する。このとき、人間の脳
　　は、目に入ってきた光線の方向から、その延長線
　　上（赤い部分）に箸の先があるものと錯覚する。
　　それで、水中部分が浮き上がっているように見え
　　たわけである。







（参考文献：金原寿郎　著　物理の研究（旺文社）
　　　　　　　力武常次・北村良夫・清水光治　著　物理�T・�U（数研出版））

（追記）　光に対するフェルマー（1601〜1665）の考察から、光は通過に要する距離が最小と
　　　　なるような経路に沿って進む。このことを確認してみよう。

　　左図のように、２点Ａ、Ｂを光が通過する場合を
　考える。ＡＢ間の水平距離を Ｌ とすると、光の経
　路の光学距離 Ｍ は、

　　

　の最小値により与えられる。実際に、

　　



　　このとき、
　　　　　　　　　　

　　なので、
　　　　　　　　　　

ところで、屈折の法則

が成り立つとき、

　　なので、
　　　　　　　　　　

　　となる。また、任意のＸにおいて、

　　　　　　　　　　
　　が成り立つ。

　　以上から、屈折の法則が成り立つ光の経路において、Ｍは極小かつ最小となる。

　このことを、逆に考えれば、Ｍが最小となるような経路を光が通過するとき、自然に屈折
の法則が成り立つことになる。

（参考文献：戸田盛和　著　最小原理（数学１００の問題より）　（日本評論社））

（追々記）　光の屈折・反射について、大変驚くべき事実が解明された。

　今まで、光の入射地点と同じ場所から、反射・屈折していると考えられてきたが、事実は
違うとのことである。産業技術研究所と東大のグループの研究により突き止められた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（朝日新聞２００４年９月９日付け朝刊）

　　　　　　

　ずれはごく僅かで、光学製品（レンズなど）では無視できる範囲らしいが、光通信には影
響があるらしい。


（追記）　平成２６年９月１２日付け

　長野県立飯山北高校の中村公一先生が、次の問題に取り組まれた。この頁に関連する
話題でとても興味ある問題である。

（参考文献：　中村公一　著　「浮き上がり曲線」　（数研通信　Ｎｏ．８０　（数研出版）））

　プールの底面に引かれたラインは、遠くに行けば行くほど上に浮き上がって見えるが、
この曲線の方程式はどうなるのだろうか？

　計算を簡単化するため、

　　　水面をｘ軸とし、プールの底面に引かれたラインの方程式を、ｙ＝−１

とする。また、観測者の目の位置を、Ｋ（０，ｈ）とする。

　点Ｐ（０，−１）から入射角φで入射した光線は水面で屈折し、屈折角θとすると、屈折線の
方程式は、
　　　　　　　ｙ＝（−１/ｔａｎθ）（ｘ＋ｔａｎφ）

　同様に、

　点Ｐ（０，−１）から入射角φ＋Δφで入射した光線は水面で屈折し、屈折角θ＋Δθとす
ると、屈折線の方程式は、

　　　　　　　ｙ＝（−１/ｔａｎ（θ＋Δθ））（ｘ＋ｔａｎ（φ＋Δφ））

　２直線の交点（ｘ，ｙ）の座標は、

　ｘ＝−ｔａｎφ＋ｔａｎθ（ｔａｎ（φ＋Δφ）−ｔａｎφ）/（ｔａｎ（θ＋Δθ）−ｔａｎθ）

　ｙ＝−（ｔａｎ（φ＋Δφ）−ｔａｎφ）/（ｔａｎ（θ＋Δθ）−ｔａｎθ）

　ここで、Δφ→０ とすると、Δθ→０ で、（ｘ，ｙ）→（ｘ₀，ｙ₀）とすると、

　ｘ₀＝−ｔａｎφ＋ｓｉｎθｃｏｓ²θ/（ｎｃｏｓ³φ）

　ｙ₀＝−ｃｏｓ³θ/（ｎｃｏｓ³φ）

　これは、入射角φ、屈折率θの屈折線上から見た場合の点Ｐの見かけ上の点Ｆ（ｘ₀，ｙ₀）
の座標となる。

　水の屈折率をｎとすると、屈折の法則から、　ｓｉｎθ＝ｎｓｉｎφ　なので、上式は、

　ｘ₀＝−（ｎ²−１）ｔａｎ³φ

　ｙ₀＝−（１/ｎ）（１−（ｎ²−１）ｔａｎ²φ）^3/2

とも書ける。これより、φを消去すると、

　　ｙ₀＝−（１/ｎ）（１−（ｎ²−１）^1/3ｘ₀^2/3）^3/2

ただし、定義域は、−１/√（ｎ²−１）＜ｘ＜１/√（ｎ²−１）　である。

　そこで、問題は、点Ｐが直線 ｙ＝−１ 上を動くとき、屈折線が観測点Ｋを通る場合の見かけ
上の点Ｆ（ｘ₀，ｙ₀）がどのような軌跡を描くかということである。

　条件より、点Ｐのｘ座標は、　ｈｔａｎθ＋ｔａｎφ　となるので、点Ｆも平行移動されて、

　ｘ₀＝ｈｔａｎθ＋ｓｉｎθｃｏｓ²θ/（ｎｃｏｓ³φ）

　ｙ₀＝−ｃｏｓ³θ/（ｎｃｏｓ³φ）

となる。

　いま、ＫＦ²＝ｘ₀²＋（ｈ−ｙ₀）²＝ｒ²　とおくと、　ｒｓｉｎθ＝ｘ₀　、ｒｃｏｓθ＝ｈ−ｙ₀　なので、

　（ｎ²−１）ｘ₀²＝（ｈ−ｙ₀）²（ｎ^4/3ｙ₀^(-2/3)−ｎ²）

　したがって、求める点Ｆの軌跡の方程式は、

　　（ｎ²−１）ｘ²＝（ｈ−ｙ）²（ｎ^4/3ｙ^(-2/3)−ｎ²）　　ただし、水の屈折率ｎ＝４/３で、ｙ＜０

　水面からの距離ｈ＝１．８としてグラフ描画ソフトにグラフを描かせると、次のようになる。

　　　


（コメント）　中村公一先生の結果に感動しました。確かにこんな風に見えていますよね！


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年９月１２日付け）

　上記を拝見して、ふと高校時代の疑問を思い出しました。どなたかこれに答えられる方が
いらっしゃいましたらご教示ください。

　水面をx軸、プールの底を y=-1 とします。奥行は考えません。空気中の光の速さを1とし、
水の屈折率は簡単のため2とします。すなわち水中での光の速さを1/2とします。また、水面
は十分に穏やかであるとします。

[1]　水面から一度外に出る場合と出ない場合をそれぞれ考えることで、(4,-1) から (0,-1) ま
　　で光が最短で届く経路を見つけてください。
　　（数学的には最短でなく下限というべきかもしれませんが）

[2]　(4,-1) に点光源を置いた場合、フェルマーの原理によれば、(0,-1) にいる観測者は仰角
　　何度に光源を観測すると考えられるでしょうか。

[3]　点光源を (5,-1) にも置いた場合、(0,-1) にいる観測者は、この新しい光源を仰角何度に
　　観測すると考えられるでしょうか。

[4]　ある場所以遠の底全体を光らせると何やら大変なことになりそうですが、こんな現象は
　　果たして現実に起こるのでしょうか。起こらないのだとすると一体なぜ？


　空舟さんからのコメントです。（平成２６年９月１３日付け）

　正確な知識を持ってる自信はないですが考えてみました。

　フェルマーの原理によれば、「地点Aから出た光を、地点Bから観測したならば、その光学
的最短経路が示す方向に光が観測される」と知られている（かと認識しています）。

　この主張に２つ注意点があると考えました。

(a) 光の強さについて

　例えば、井戸の底に光源があるとします。井戸の横に離れて立っている観測者からは光源
は直感的に見えません。しかし、井戸の底から観測者に向かう最短経路（折れ線）は存在し
ます。おそらく、その経路の光は存在しないことはない（回折）けれど微弱なのでしょう。

　このように、フェルマーの原理は光の強さを評価しません。それを評価するには別の結果
が必要になります。（フレネル回折という式があるようですが難しくて分かりません）

(b) 他の経路を通った光も観測されることについて

　鏡の前で自分の手を見る時には直接見えるのに加えて、鏡に映っているのも見えるでしょ
う。最短経路を極小経路とか言い直すと良いかもしれないと思いました。


　提示された問題を考える際にもう１つの重要と思われることで、光が水面に当たる時、反
射光と屈折光に分かれます。その際の透過と反射の割合に関して、フレネルの式が知られ
ています。結果には、屈折光が水面すれすれ（屈折角βが90度）に近づくにつれて、反射光
の割合が１に、屈折光の割合が０に近づきます。

　水面すれすれの光は最短経路ではあるけれども微弱な光になるのではないかと考えます。(a)
それ以外に、点光源から直進してくる光と、水面で反射してくる光が観測されると思います。(b)


　DD++さんからのコメントです。（平成２６年９月１３日付け）

　なるほど、確かに2回の屈折として強度評価すると0収束しますね。無限に広い光源を用意
しても0収束か高々有限収束しそうです。ご回答いただきありがとうございます。

　別経路から届く光があることについては認識していましたが、これについても疑問が1つ残っ
ています。

　直接光については極小経路ということで納得するとして、(2,0) で全反射してくる経路はいわ
ば鞍点のようなものであって極小ではないと思います。それでもこの経路の光が届くのはなぜ
なのでしょうか。


　空舟さんからのコメントです。（平成２６年９月１４日付け）

　極小と言う言葉を安易に使ってしまったかもしれません。経路が極小であるとはどういうこと
かを考えてみると、それほど簡単ではないように思いました。また考えてみます。