任意の余弦を持つ三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ｍ²＋ｎ²、ＣＡ＝ｍ²−ｎ²、ＡＢ＝２ｍｎ　とすると、
ｃｏｓＡ＝０　である。

　△ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ｍ²＋ｎ²＋ｍｎ、ＣＡ＝ｍ²−ｎ²、ＡＢ＝２ｍｎ＋ｎ²　とすると、
ｃｏｓＡ＝−１/２　である。

　問題を作問するとき、所要の余弦の値を持つ三角形で、三角形の３辺の長さが整数であ
るものが欲しい場合がある。

　次の事実が知られている。

　互いに素な正の整数ｐ、ｑ（ｐ＞ｑ）と有理数Ｍ（−１＜Ｍ＜１）に対して、

　　　ＢＣ＝ｐ²＋ｑ²−Ｍ（ｐ²−ｑ²）
　　　ＣＡ＝２ｐｑ
　　　ＡＢ＝ｐ²−ｑ²−Ｍ（ｐ−ｑ）²　　　とすると、　ｃｏｓＡ＝Ｍ　が成り立つ。

　実際に、

ＣＡ²＋ＡＢ²−ＢＣ²＝｛２ｐｑ｝²＋｛ｐ²−ｑ²−Ｍ（ｐ−ｑ）²｝²−｛ｐ²＋ｑ²−Ｍ（ｐ²−ｑ²）｝²
　　　　　　　　　　　　＝４Ｍｐｑ{（ｐ²−ｑ²）−Ｍ（ｐ−ｑ）²}＝２Ｍ・ＣＡ・ＡＢ
　より、　ｃｏｓＡ＝Ｍ　が成り立つ。

　三角形の３辺の長さを整数にするには、定数倍の処理を行えばよい。

　互いに素な正の整数ｍ、ｎ（ｍ＞ｎ）と有理数Ｍ（−１＜Ｍ＜１）に対して、

　　　ＢＣ＝ｍ²＋ｎ²−２Ｍｍｎ
　　　ＣＡ＝ｍ²−ｎ²
　　　ＡＢ＝２ｍｎ−２Ｍｎ²　　　とすると、　ｃｏｓＡ＝Ｍ　が成り立つ。

　実際に、

ＣＡ²＋ＡＢ²−ＢＣ²＝｛ｍ²−ｎ²｝²＋｛２ｍｎ−２Ｍｎ²｝²−｛ｍ²＋ｎ²−２Ｍｍｎ｝²
　　　　　　　　　　　　＝４Ｍｍｎ（ｍ²−ｎ²）−４Ｍ²ｎ²（ｍ²−ｎ²）
　　　　　　　　　　　　＝４Ｍ（ｍ²−ｎ²）（ｍｎ−Ｍｎ²）＝２Ｍ・ＣＡ・ＡＢ
　より、　ｃｏｓＡ＝Ｍ　が成り立つ。

　三角形の３辺の長さを整数にするには、定数倍の処理を行えばよい。