平成１７年３月１１日 当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、いつもお世話になっている未菜
実さんから質問があった。
質問内容
１９×１９ のマス目に、１×５ のタイルを敷詰める。１９×１９＝３６１≡１ (ｍｏｄ ５) なので、
１マスどこかに穴があくはず！ その穴の位置はどこだろうか？
未菜実さんによれば、
１×ｎ のタイルを、ｍ×ｍ (ただし、ｍ＝ｐ×ｎ−1 、ｐ、ｎ は自然数）のマス目に敷詰める
場合、ｎ が奇数の場合は既に解は判明しているが、ｎ が偶数の場合は、まだ不明とのこと
である。
上記の問題を理解するために、次の例題を考えてみることにした。
例題 ９×９ のマス目に、１×５ のタイルを敷詰める。穴の位置はどこだろうか？
のマス目に、
を埋め込む問題の常套的手段は、未菜実さんもやられているように、１×５ のタイルの５ヶ
所に異なる番号が割り振られるように９×９ のマス目に番号を割り振ることである。
１×５ のタイルをどのようにおいても上記の条件を満たすためには、次のように番号を割
り振ればよい。
上記の表で、１、２、３、５ の番号は、何れも １６個で、４ の番号のみが １７ 個ある。
１×５ のタイルには、全ての番号が均等に用いられるので、４ の番号のみが １ 個余る。
今、９×９ のマス目に、１×５ のタイルが敷き詰められ、４ の番号のどれかに穴があい
ているとものとする。
そのとき、その敷き詰められた状態を対称移動しても、同様にタイルが敷き詰められて、
どこかに穴があいているはずであるが、上記の理由から、その場所には、４ の番号が割
り振られていなければならない。
上図で、Ｘ−Ｙ軸、Ｐ−Ｑ軸に関する対称移動で所要の条件を満足する場所は中央の１ヶ
所のみである。（これは、あくまでも敷き詰められたとしたときの必要条件であり、十分条件
ではない。）
次に、上記の場所に穴があくことの十分性を確認しよう。そのためには、実際に、そのよう
な敷き詰め方を構成すればよい。
上記のような敷き詰め方が存在するので、上記で得られたことは十分条件にもなっている。
一般に、１×ｎ のタイルを、ｍ×ｍ (ただし、ｍ＝ｐ×ｎ−1 、ｐ、ｎ は自然数）のマス目に
敷詰めるとき、 ｍ≡−1 （ ｍｏｄ ｎ ）なので、上記と同様に番号を割り振れば、番号 ｎ−1
が常に他の番号よりも １ 個多くなる。このことは、簡単に次のようにして確かめることがで
きる。
１ ≦ ｋ ≦ ｎ−２ のとき、 番号 ｋ は、
ｋ＋(ｎ＋ｋ)＋(２ｎ＋ｋ)＋・・・＋((ｐ−1)ｎ＋ｋ)
＋(ｐｎ−(ｋ＋２))＋((ｐ−1)ｎ−(ｋ＋２))＋・・・＋(ｎ−(ｋ＋２))
＝２(ｎ＋２ｎ＋・・・＋ｐｎ)−ｐｎ−２ｐ＝ｐ(ｐ＋１)ｎ−ｐｎ−２ｐ＝ｐ2ｎ−２ｐ （個）
ある。
ｋ ＝ ｎ−１ のとき、 番号 ｎ−１ は、
ｎ−１＋(ｎ＋(ｎ−１))＋(２ｎ＋(ｎ−１))＋・・・＋((ｐ−1)ｎ＋(ｎ−１))
＋(ｐｎ−(ｎ＋１))＋((ｐ−1)ｎ−(ｎ＋１))＋・・・＋(２ｎ−(ｎ＋１))
＝２(ｎ＋２ｎ＋・・・＋ｐｎ)−ｐｎ−ｎ−２ｐ＋ｎ＋１＝ｐ(ｐ＋１)ｎ−ｐｎ−２ｐ＋１
＝ｐ2ｎ−２ｐ＋１ （個）
ある。
ｋ ＝ ｎ のとき、 番号 ｎ は、
ｎ＋(ｎ＋ｎ)＋(２ｎ＋ｎ)＋・・・＋((ｐ−２)ｎ＋ｎ)＋(ｐｎ−２)＋((ｐ−1)ｎ−２)＋・・・＋(ｎ−２)
＝２(ｎ＋２ｎ＋・・・＋ｐｎ)−(ｐ−1)ｎ−ｐｎ−２ｐ＋(ｐ−１)ｎ＝ｐ(ｐ＋１)ｎ−ｐｎ−２ｐ
＝ｐ2ｎ−２ｐ （個）
ある。
このことから、番号 ｎ−1 のところに穴があく可能性がある。上述と同様に、対称性に注目
すれば、いくつかの場所に絞られる。（これは、あくまでも必要条件！）
十分性を確認するには、その存在を保証する構成法を与えればよい。
（追記） 未菜実さんの質問の核心の部分は次の点である。
ｎ が奇数の場合は、上記で得られた場所すべてに穴があくが、ｎ が偶数の場合は、あく
場合とあかない場合が発生する。穴があく場所を特定するには、どうしたらよいだろうか？
この質問に対して、当ＨＰがいつもお世話になっている「らすかる」さんが、鮮やかな解答
を示してくれた。以下で、そのことをまとめたいと思う。
簡単のために、次の問題で考えることにしよう。
例題 ７×７ のマス目に、１×４ のタイルを敷詰める。穴の位置はどこだろうか？
のマス目に、
を埋め込むわけであるが、まず、次のように番号を振ってみる。
上述と同様に対称性に注目すれば、番号３のうち、上図の水色の部分５ヶ所が、穴のあ
く候補となる。
中央の番号３に対しては、
と穴がしっかりあくが、他の番号３の水色の部分については、穴があくとすると不具合が起
こるので、穴があくことはない。
この２つの可能性の判別として、「らすかる」さんは、番号の振り方を変えるという手法で
解決された。
まず、
において、左上部の４×４の正方形の部分に着目すると、他の部分はこの繰り返しとなっ
ている。
さらに、たて横同数の番号が割り振られているので、右下部の配列
からも分かるように、４×４の正方形の右下部分の番号のみ欠落回数が他の番号よりも
１回分少ない。すなわち、右下部分の番号が他の番号と比べて、１個多いということであ
る。
したがって、４×４の正方形の右下部分の番号の場所で穴があく可能性のあることが
分かる。
番号の振り方を、次のように変えてみる。
先ほどの理論から、４×４の正方形の右下部分の番号３の場所で、穴があく可能性があ
るが、
上下、左右の対称性を利用すれば、上図の水色の場所でのみ穴があく可能性があるこ
とが分かり、上述の議論から、これが求める場合である。
（番号の割り振りを変えることにより、可能性がだいぶ狭められる！）
らすかる さんによれば、４×４の正方形の右下部分の番号と同じ番号を他の列に割り
振る方法はいろいろあり、右下部分以外は必ず穴があかないようにできるとのことである。
ただし、ｎ＝２ のときは例外で、左上部も穴があくことに注意。
実際に、
であるように、穴があいてしまう。
以上をまとめると、
穴が空く可能性のある場所は、
ｎ＞２ のとき、ｐｎ行ｑｎ列目の場所（ｐ、ｑ は自然数）
である。
逆に、これらの場所に実際に穴があくことは次のようにして分かる。
（らすかる さんによる証明） 左下図は、１５×１５ （１×４ のタイル）の場合
