質問に対する回答（５） 
平成１７年３月２日 当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に書き込みのあった質問に対する回
答です。
質問内容 （Ｓ さん）
空間に正方形があり、これを一つの平面に正射影すると、２辺の長さが ２
、
、
内角の1つが、３０°である平行四辺形になる。
[１] 平行四辺形の２つの対角線の長さを求めよ。
[２] 正方形の面積を求めよ。
（解答）
[１] は、余弦定理を用いて解決される。対角線の長さを Ｋ、Ｌ とおくと、
Ｋ2＝（２）2＋（）2－２×２××ｃｏｓ３０°＝８＋６－１２＝２
Ｌ2＝（２）2＋（）2－２×２××ｃｏｓ１５０°＝８＋６＋１２＝２６
よって、 対角線の長さは、 と 
[２] は、２つの可能性が考えられる。
空間にある正方形の最下点が、内角３０°の平行四辺形の頂点の直上にある場合と内
角 １５０°の平行四辺形の頂点の直上にある場合とである。
これらを図示すれば、下図のようになる。（正方形の一辺の長さ ： Ｘ）
| 図１ | 図２ |
 |
 |
図１の場合、ＢＰ2＝Ｘ2－６ 、ＤＲ2＝Ｘ2－８ なので、直角三角形ＡＱＣにおいて、三平方
の定理を用いれば、
（）2＋（
＋
）2＝（Ｘ）2
ところが、この式を満たす実数Ｘは存在しないので、図１の場合は起こりえない。
図２の場合、ＢＰ2＝Ｘ2－８ 、ＤＲ2＝Ｘ2－６ なので、直角三角形ＡＱＣにおいて、三平方
の定理を用いれば、
（）2＋（＋）2＝（Ｘ）2
これより、 ２＋Ｘ2－８＋２＋Ｘ2－６＝２Ｘ2 なので、
＝６
両辺を平方して整理すると、 （Ｘ2）2－１４Ｘ2＋１２＝０
Ｘ2≧８ に注意して、 Ｘ2＝
以上から、求める正方形の面積（＝Ｘ2）は、 となる。
（コメント） 書き込みをしていただいた Ｓ さん、上記の解答でいかがでしょうか？