質問に対する回答（５）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　平成１７年３月２日　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に書き込みのあった質問に対する回
答です。

質問内容　　（Ｓ　さん）

　空間に正方形があり、これを一つの平面に正射影すると、２辺の長さが ２、 、
内角の1つが、３０°である平行四辺形になる。
　[１]　平行四辺形の２つの対角線の長さを求めよ。
　[２]　正方形の面積を求めよ。

（解答）

[１]　は、余弦定理を用いて解決される。対角線の長さを Ｋ、Ｌ とおくと、

　Ｋ²＝（２）²＋（）²−２×２××ｃｏｓ３０°＝８＋６−１２＝２

　Ｌ²＝（２）²＋（）²−２×２××ｃｏｓ１５０°＝８＋６＋１２＝２６

　よって、　対角線の長さは、　　と　

[２]　は、２つの可能性が考えられる。

　空間にある正方形の最下点が、内角３０°の平行四辺形の頂点の直上にある場合と内
角 １５０°の平行四辺形の頂点の直上にある場合とである。

　これらを図示すれば、下図のようになる。（正方形の一辺の長さ ： Ｘ）

図１	図２

　図１の場合、ＢＰ²＝Ｘ²−６　、ＤＲ²＝Ｘ²−８　なので、直角三角形ＡＱＣにおいて、三平方
の定理を用いれば、

　（）²＋（＋）²＝（Ｘ）²

　ところが、この式を満たす実数Ｘは存在しないので、図１の場合は起こりえない。

　図２の場合、ＢＰ²＝Ｘ²−８　、ＤＲ²＝Ｘ²−６　なので、直角三角形ＡＱＣにおいて、三平方
の定理を用いれば、

　（）²＋（＋）²＝（Ｘ）²

これより、　２＋Ｘ²−８＋２＋Ｘ²−６＝２Ｘ²　なので、

　＝６

両辺を平方して整理すると、　　（Ｘ²）²−１４Ｘ²＋１２＝０

　Ｘ²≧８　に注意して、　Ｘ²＝

　以上から、求める正方形の面積（＝Ｘ²）は、　　となる。


（コメント）　書き込みをしていただいた　Ｓ　さん、上記の解答でいかがでしょうか？