平成１５年１１月１５日 当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、「困ってます」さんという方から、
次のような書き込みがあった。
『 ｍ は、次の等式を満たす４以上の整数とする。
このとき、ｍｎ−ｎｍ＋ｎ−１ は偶数であることを示せ。』
当初掲示板に書かれたシグマの式に違和感があったので、質問をされた方に伺ったとこ
ろ、上記の式であることを確認した。
次のような解答例を、当ＨＰの一応の回答としたい。
であるので、条件式の左辺を計算すると、
となる。したがって、
を満たす ｍ の値を求めればよい。両辺の分母を払って、
(ｎ2−ｎ−２)(ｍ−１)＝(ｎ2−ｎ)(ｍ−３)
これより、 ｍ＝ｎ2−ｎ＋１ を得る。すなわち、ｍ−１＝ｎ2−ｎ＝ｎ(ｎ−１)
このとき、
ｍｎ−ｎｍ＋ｎ−１
＝ ｍｎ−１−(ｎｍ−ｎ)
＝ (ｍ−１)(ｍｎ-1＋ｍｎ-2＋・・・＋１)−ｎ(ｎ−１)(ｎｍ-2＋ｎｍ-3＋・・・＋１)
＝ｎ(ｎ−１)(ｍｎ-1＋ｍｎ-2＋・・・＋１)−ｎ(ｎ−１)(ｎｍ-2＋ｎｍ-3＋・・・＋１)
ここで、 ｎ(ｎ−１) は連続する２整数の積なので、必ず偶数となる。
したがって、ｍｎ−ｎｍ＋ｎ−１ は偶数である。 （終）
以上の解答で、「困ってます」さん、よろしいでしょうか？
（追記） 平成１８年９月２８日付で、Ｔ．Ｓ．さんからメールを頂いた。上記の証明をもう少し
簡略化するもので、私自身その発想に感動した。Ｔ．Ｓ．さんに感謝したい。
上記の証明で、「 ｍ−１＝ｎ2−ｎ＝ｎ(ｎ−１) 」を活用して、
ｍｎ−ｎｍ＋ｎ−１ は偶数である
ことを証明しているが、「 ｍ は奇数 」であることを知れば、次のようにも証明できるとの
ことである。
（別証） ｍ は奇数なので、 ｍｎ−１ は偶数である。
実際に、奇数は何乗しても奇数で、その数から１を引けば偶数となる。
また、ｎ の値によらず、常に ｎｍ−ｎ は偶数である。
実際に、ｎが偶数ならば、ｎｍも偶数で、その数から偶数ｎを引いても偶数である。
ｎが奇数ならば、ｎｍは奇数で、その数から奇数ｎを引けば偶数となる。
よって、 ｍｎ−ｎｍ＋ｎ−１ は偶数である。（終）
（コメント） 鮮やか！ 簡潔で美しいですね。上記の証明では、ｍ−１＝ｎ(ｎ−１) の形に囚
われて変な計算をしてしまいました。