質問に対する回答(29)
当HPの掲示板「出会いの泉」に、当HP読者のHN「KM」さんより書き込みがあった。
(平成25年5月4日付け)
数列の和に関して、次の問題に苦戦しています。
p は素数、[ ] はガウス記号とする。
Σk=1〜p [√(pk)]−Σk=1〜p [(k2/p)] は偶数になるか、奇数になるかを調べよ。
具体的に計算して、「p=2のとき奇数、それ以外の素数のとき偶数」という予想はできまし
た。格子点の個数を考えてみたりしましたがピンと来ません。なにかヒントがあれば教えてく
ださい。
当HPがいつもお世話になっているHN「らすかる」さんが回答されました。
(平成25年5月4日付け)
ガウス記号がついていれば、和は求められます。例えば、
[√1],[√2],[√3],…,[√(n2)]
=1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,…,(n-1が2n-1個),n
ですから、 Σk=1〜n2 [√k]=Σk=1〜n (k−1)(2k−1)+n=n(4n2−3n+5)/6 です。
しかし、冒頭の問題は、グラフを描いて格子点を数えるのが簡単です。
x>0 において y=√(px) と y=x2/p は逆関数の関係にあり、pが素数なので、0<x<p の
範囲では格子点を通りません。
従って、 Σk=1〜p [√(pk)]−Σk=1〜p [(k2/p)] は、2つのグラフに囲まれた格子点の個
数になります。
格子点は、y=x に関して対称に存在しますから、y=x 上の点を除けば偶数個です。y=x
上の点の個数は、p-1個ですから、格子点の総数は、
p=2 のとき奇数個(1個) 、p≠2 のとき偶数個
となりますね。
KMさんからのコメントです。(平成25年5月4日付け)
ありがとうございます。鮮やかな解答ですね。説明もわかりやすいです。
以下、工事中!