当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰ読者のＨＮ「ｋ．ｎｉｋａ」さんより書き込みがあった。
（平成２５年３月７日付け）
ひとつご教示頂きたいのですが、ある既知の数Aがあり、未知数Bを掛け、 「Ｃ2＋１」の形
にしたいです。
未知数Bを求めるなにか良い方法はないでしょうか。（ここで、A、B、Cは非負の整数）
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年３月８日付け）
Aを素因数分解すれば求められるようですが、目的がAを素因数分解することなら難しそ
うです。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年３月８日付け）
Aを与えたとき、未知数Bの選び方の候補を調べてみました。これからなにか法則を掴め
ませんかね。
A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B
1-->1 ：2-->1 ：5-->1 ：10-->1 ：13-->2 ：17-->1
1-->2 ：2-->5 ：5-->2 ：10-->5 ：13-->5 ：17-->10
1-->5 ：2-->13 ：5-->10 ：10-->17 ：13-->25 ：17-->26
1-->10 ：2-->25 ：5-->13 ：10-->29 ：13-->34 ：17-->53
1-->17 ：2-->41 ：5-->29 ：10-->53 ：13-->74 ：17-->85
1-->26 ：2-->61 ：5-->34 ：10-->73 ：13-->89 ：17-->130
1-->37 ：2-->85 ：5-->58 ：10-->109：13-->149：17-->178
1-->50 ：2-->113：5-->65 ：10-->137：13-->170： ＊
1-->65 ：2-->145：5-->97 ：10-->185： ＊ ： ＊
1-->82 ：2-->181：5-->106： ＊ ： ＊ ： ＊
1-->101 ： ＊ ：5-->146： ＊ ： ＊ ： ＊
1-->122 ： ＊ ：5-->157： ＊ ： ＊ ： ＊
1-->145 ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊
1-->170 ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊
1-->197 ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊
A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B
25-->2 ：26-->1 ：29-->5 ：34-->5 ：37-->1 ：41-->2
25-->13 ：26-->17 ：29-->10 ：34-->13 ：37-->26 ：41-->25
25-->41 ：26-->37 ：29-->58 ：34-->65 ：37-->50 ：41-->61
25-->74 ：26-->85 ：29-->73 ：34-->89 ：37-->125 ：41-->130
25-->130：26-->125：29-->169：34-->193：37-->173 ： ＊
25-->185： ＊ ：29-->194： ＊ ： ＊ ： ＊
A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B
50-->1 ：53-->10 ：58-->5 ：61-->2 ：65-->1 ：73-->10
50-->37 ：53-->17 ：58-->29 ：61-->41：65-->5 ：73-->29
50-->65 ：53-->109：58-->97 ：61-->85：65-->34 ：73-->137
50-->173：53-->130：58-->169： ＊ ：65-->50 ：73-->194
＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ：65-->82 ： ＊
＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ：65-->106： ＊
＊ ： ＊ ： ＊ ： ＊ ：65-->193： ＊
A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B ：A-->B
74-->13 ：82-->1 ：85-->2 ：89-->13 ：97-->5
74-->25 ：82-->65 ：85-->17 ：89-->34 ：97-->58
74-->149：82-->101：85-->26 ：89-->170：97-->146
74-->185： ＊ ：85-->61 ： ＊ ： ＊
＊ ： ＊ ：85-->113： ＊ ： ＊
＊ ： ＊ ：85-->178： ＊ ： ＊
A≦100、B≦200までの範囲なのであしからず。＊はその範囲では見つからなかったため
です。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年３月８日付け）
素因数分解に直結する内容ですので、もし法則を見つけられたら、世紀の大発見になりそ
うな気がします。…ということで、世界ではそれについて研究している人が、ある程度いると
思いますので、一般の人が法則を見つけるのはきっと難しいと思います。
空舟さんからのコメントです。（平成２５年３月８日付け）
ａとｂは互いに素で、ａ2＋ｂ2＝A となる整数ａ、ｂを見つけてこられれば、（そのようなａ、ｂを
見つける段階がきっと困難なのだと思いますが・・・）、ａｄ＋ｂｃ＝１ となるｃ、ｄ を手に入れて
ｃ2＋ｄ2＝B とおくことで、AB = (ａ2＋ｂ2)( ｃ2＋ｄ2) = (ａｃ−ｂｄ)2＋(ａｄ＋ｂｃ)2 が条件を満た
すと思います。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２５年３月８日付け）
ＧＡＩ さん、空舟さん、らすかるさん、有難うございます。Aが素因数分解可能だとすると、ど
うでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年３月９日付け）
素因数分解が出来れば、mod Aにおける -1 の平方根Cが求められますので、B=(C2+1)/A
によりBも求まります。法演算における平方根の求め方については、
塩田 著（高知大学 情報科学専攻） 「情報解析学特講」
のp.18〜22に記載されています。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２５年３月９日付け）
どうも有難うございます。頑張ってみます。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年３月９日付け）
面白かったので、どんなＡに対し何のＢを掛けるとC2+1の数が構成されていくのかを範囲
を広げて調べてみました。
Ａに選べる数は、空舟さんのご指摘のように数列大辞典に載っている「A008784」の数に
限られていき、これに対するＢ（B1〜B10の１０個を表にしました）もまた、この「A008784」グ
ループに属する数となっていることが確認できます。
一般に、ある数が２つの平方数の和で表される条件がガウスの平方剰余相互法則での
第一補充法則と関連しており、またガウスの整数環がラグランジュの恒等式と繋がり、一方
を、ａｃ−ｂｄ=1と選ぶことで、この問いが発生する構造が見てとれます。
A ： 1 / 2 / 5 / 10 / 13 / 17 / 25 / 26 / 29 / 34
B1 ： 1 / 1 / 1 / 1 / 2 / 1 / 2 / 1 / 5 / 5
B2 ： 2 / 5 / 2 / 5 / 5 / 10 / 13 / 17 / 10 / 13
B3 ： 5 / 13 / 10 / 17 / 25 / 26 / 41 / 37 / 58 / 65
B4 ： 10 / 25 / 13 / 29 / 34 / 53 / 74 / 85 / 73 / 89
B5 ： 17 / 41 / 29 / 53 / 74 / 85 / 130 / 125 / 169 / 193
B6 ： 26 / 61 / 34 / 73 / 89 / 130 / 185 / 205 / 194 / 233
B7 ： 37 / 85 / 58 / 109 / 149 / 178 / 269 / 265 / 338 / 389
B8 ： 50 / 113 / 65 / 137 / 170 / 241 / 346 / 377 / 373 / 445
B9 ： 65 / 145 / 97 / 185 / 250 / 305 / 458 / 457 / 565 / 653
B10 ： 82 / 181 / 106 / 221 / 277 / 386 / 557 / 601 / 610 / 725
A ： 37 / 41 / 50 / 53 / 58 / 61 / 65 / 73 / 74 / 82
B1 ： 1 / 2 / 1 / 10 / 5 / 2 / 1 / 10 / 13 / 1
B2 ： 26 / 25 / 37 / 17 / 29 / 41 / 5 / 29 / 25 / 65
B3 ： 50 / 61 / 65 / 109 / 97 / 85 / 34 / 137 / 149 / 101
B4 ： 125 / 130 / 173 / 130 / 169 / 202 / 50 / 194 / 185 / 293
B5 ： 173 / 202 / 229 / 314 / 305 / 290 / 82 / 410 / 433 / 365
B6 ： 298 / 317 / 409 / 349 / 425 / 485 / 106 / 505 / 493 / 685
B7 ： 370 / 425 / 493 / 625 / 629 / 617 / 193 / 829 / 865 / 793
B8 ： 545 / 586 / 745 / 674 / 797 / 890 / 229 / 962 / 949 / 1241
B9 ： 641 / 730 / 857 / 1042 / 1069 / 1066 / 293 / 1394 / 1445 / 1385
B10 ： 866 / 937 / 1181 / 1105 / 1285 / 1417 / 337 / 1565 / 1553 / 1961
A ： 85 / 89 / 97
B1 ： 2 / 13 / 5
B2 ： 17 / 34 / 58
B3 ： 26 / 170 / 146
B4 ： 61 / 233 / 305
B5 ： 113 / 505 / 481
B6 ： 178 / 610 / 746
B7 ： 205 / 1018 / 1010
B8 ： 290 / 1165 / 1381
B9 ： 394 / 1709 / 1733
B10 ： 509 / 1898 / 2210
空舟さんからのコメントです。（平成２５年３月９日付け）
c の符号が変わっても B＝ｃ2＋ｄ2 は同じ結果なので、「ad-bc=1」でも良いと思います。そ
の場合は以下のようになり、ac+bd が Cに相当することになります。
AB = (ａ2＋ｂ2)( ｃ2＋ｄ2) = (ａｃ＋ｂｄ)2＋(ａｄ−ｂｃ)2
（※） a、b、c、d が正ということなら、こっちの式の方が良いかもしれません。
（私が当初 AB = (ａ2＋ｂ2)(ｃ2＋ｄ2) = (ａｃ−ｂｄ)2＋(ａｄ＋ｂｃ)2 という符号で書いたのは、
|a+bi| |c+di| = |(a+bi)(c+di)| に由来します）
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２５年３月９日付け）
Ａに選べる数は空舟さんの御指摘のように数列大辞典に載っている「A008784」の数に限
られていき、これに対するＢ（B1〜B10の１０個を表にしました。）もまたこのA008784グルー
プに属する数となっていることが確認できます。
これは気がつきませんでした、とても参考になります。
ａとｂは互いに素で、ａ2＋ｂ2＝A となる整数ａ、ｂを見つけてこられれば、（そのようなａ、ｂ
を見つける段階がきっと困難なのだと思いますが・・・）
たしかに困難なのですが、たとえば、A=ａ2＋ｂ2 (a：偶数、b：奇数） という性質があり、こ
れに既知数Bを掛け、
AB=C2+D2 (C：偶数、D：奇数で、Cの桁数＞２*Dの桁数）
という性質を持たす事が出来れば、具体的にC、Dの値が分からなくても、A=ａ2＋ｂ2 を求め
ることが出来るのですが・・・
空舟さんからのコメントです。（平成２５年３月１０日付け）
A=ａ2＋ｂ2、B=ｃ2＋ｄ2、AB=(ａ2＋ｂ2)(ｃ2＋ｄ2) に対して、AB = (ａｃ−ｂｄ)2＋(ａｄ＋ｂｃ)2 が
成り立つので、これを利用する方針を考えましたが...やはり困難でした。
a：偶数、b：奇数、c：偶数、d：奇数 として、C=|ad+bc|、D=|ac-bd| という風に考えました。
Cの桁数＞2*Dの桁数 を満たすためには、acとbdをかなり近くする必要が有りました。
適当に設定した具体的な数値で概算してみました。
aが50桁でbが25桁だとして、c=1、d=(25桁)を試すと、ad+bcは75桁、acおよびbdの桁は50
桁ぐらいなので、acとbd の上13桁ぐらいを一致させる必要がありました。
従ってこの方針は困難だと思いました...
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２５年３月１０日付け）
たしかに正攻法では難しそうですね、なにかアイデアをひねり出さないと駄目かもしれませ
ん。どうも有難うございました。
以下、工事中！