当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんより、書
き込みがあった。（平成２４年５月１５日付け）
ある疑問です。
ある本で、次の合同式の等式の記述がありました。確かに、プログラムを組んでそれぞれ
の式が成り立つことは確認することができましたが、右辺の式がどの様な経緯で手に入れら
れたのかがわかりません。
この式を導く論理を教えてください。
ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 2)
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 3)
≡(ｘ-1)4 (mod 5)
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 7)
≡(ｘ+2)(ｘ+6)(ｘ+7)(ｘ+8) (mod 11)
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 13)
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 17)
≡(ｘ2+15ｘ+1)(ｘ2+5ｘ+1) (mod 19)
≡ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1 (mod 23)
≡(ｘ2+24ｘ+1)(ｘ2+6ｘ+1) (mod 29)
≡(ｘ+15)(ｘ+23)(ｘ+27)(ｘ+29) (mod 31)
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空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月１５日付け）
ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1≡0 (mod ｐ) が成り立つ ｘ について、条件は次のようにも書けます。
ｘ≠1 かつ ｘ5≡1 (mod ｐ) となる
このとき、フェルマーの小定理から、「5」は、ｐ-1 の約数です。
1つの解 ｘ を ａ とすれば、合同方程式の理論から、
ｘ4+ｘ3+ｘ2+ｘ+1≡(ｘ-ａ)(ｘ-ａ2)(ｘ-ａ3)(ｘ-ａ4) (mod ｐ)
となるでしょう。このようにできるのは、「5」が、ｐ-1 の約数の時、つまり、ｐ が、5N+1型の時
です。
ｘ を２次の無理数にした場合、結果を見ると、ｐ が 5N-1型素数の時に解が存在します。
例えば、 (2+
)5≡1 (mod 19) です。これは、次のように説明されます。
ａ、ｂ を、0 から ｐ-1 の整数（どちらかは０でない）とすると、
集合{ｘ＝ａ+ｂα：αは2次の代数的数}
は、mod ｐ において乗法群をなします。そうすると、ｘの位数は、その集合の元の数[ｐ2-1]
の約数です。（群論のラグランジュの定理）
それで、ｘ を 5 乗すると 1 に合同になる(xの位数が5)なら、5 は、ｐ2-1 の約数です。
言いかえると、ｐ は、5N±1型の時に、「ｘ≠1、 ｘ5≡1 (mod ｐ)」となる２次の無理数範囲
の ｘ が存在することが分かります。
ちょうど、私が以前に考察したことの範囲です。ここの、「4.3 W(x)の素因数、約数」の主張
(2)に書いてある、以下の記述の通りですね。
ｍ次範囲の無理数ｙがあってΦ[ｋ](ｙ)がｐで割り切れる
⇔ K乗して初めて1(mod p)になるｙがある
⇔ Kは、ｐm-1の約数である
以下、工事中！