質問に対する回答（２０） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんより、書
き込みがあった。（平成２４年３月９日付け）

　ある疑問です。

　gcd(ｘ，ｙ)　（整数ｘとｙの最大公約数）の記号で、gcd(n⁵+5，(n+1)⁵+5)の調査をすると、

ｎ=533360　の一つだけが、 gcd=1968751　の判定が出る。

　これは論理的になにが起こっていることなのか教えて下さい。


　空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月９日付け）

　「resultant(x^5+5,(x+1)^5+5,x),factor;」と打ち込むと、1968751なので、公約数を持つなら、
1968751のみ。どんな時に大きな素数のみになるかの背景は難しそうです。投稿と同じこと
をすれば、公約数を持つｎは、1次合同式で求められるでしょう。


　らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月１０日付け）

　空舟さんが書かれているように、n⁵+5 と (n+1)⁵+5 の最大公約数は、1か1968751です。

　n⁵+5≡0 (mod 1968751) の解は、

　n≡96502、533360、533361、1066696、1707583 (mod 1968751) ですから、

　n⁵+5 と (n+1)⁵+5 がともに、1968751で割り切れるのは、n≡533360 (mod 1968751) のとき
のみです。

　よって、　n=533360、2502111、4470862、…　のとき、最大公約数は、1968751

　その他のとき、最大公約数は、1　となります。



　　　以下、工事中！