当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、当ＨＰ読者のＨＮ「ｋ．ｎｉｋａ」さんより、質問の書き込みが
あった。（平成２４年３月１２日付け）
以下の問題で悩んでいます。
ある数式 A＋(B＋(B＋１)＋・・・＋(B＋ｎ))＝C2/2 (A、B、C、ｎ は非負整数) があり、Ａ
とＢに具体的な数値が与えられたとすると、それからＣの値を求める事は可能でしょうか。
ただし、計算途中で、 Ｄ＝Ｅ2−Ｆ2 (D、E、F は非負整数) の形が現れた時、Dを素因数
分解する手法は使用しない事とします。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月１３日付け）
C＝B2−B−２A 、ｎ＝C−B とすれば、成り立つと思います。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年３月１３日付け）
らすかるさん、有難うございます。今の自分の研究内容に応用してみたいと思います。
ちなみに、A=7、B=10 とすると、らすかるさんの式に代入して、
C=B2-B-２A=76 、n=C-B=66
が得られますが、それよりも大分少ない C=14 、n=6 という別の答えが存在します。こちら
を求める式というのは難しいでしょうか？
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月１３日付け）
Table[{n, -I*Sqrt[2]*Sqrt[-7 - 10*(1 + n) - 1/2*n*(1 + n)]}, {n, 1, 66}]
を「Wolfram|Alpha」に挿入して下さい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月１４日付け）
「こちらを求める式というのは難しいでしょうか？」について、素因数分解とほぼ同値ですか
ら、「ただし、〜使用しない事とします。」の条件下では無理だと思います。
ｋ．ｎｉｋａ さんが、上記の逆バージョンを提起されました。（平成２４年３月１８日付け）
ある数式 A＋(B＋(B−１)＋・・・＋(B−ｎ))＝C2/２ (A、B、C、ｎ は非負整数) があり、Ａ
とＢに具体的な数値が与えられたとすると、それからＣの値を求める事は可能でしょうか。
ただし、計算途中で、 Ｄ＝Ｅ2−Ｆ2 (D、E、F は非負整数) の形が現れた時、Dを素因数
分解する手法は使用しない事とします。
上記で、らすかるさんが示された C＝B2−B−２A 、ｎ＝C−B のような形にならないか
いろいろ変形して試してみましたが、上手く行きません。
宜しくお願いいたします。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
８A＋(２B＋１)2 が素数ならば求められるようです。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
題意を私が理解していないのかもしれませんが、
A=17、B=70 のとき、8A+(2*B+1)^2=37*541で非素数。
ある数式 A＋(B＋(B−１)＋・・・＋(B−ｎ))＝C2/２ (A、B、C、ｎ は非負整数) があり、Ａ
とＢに具体的な数値が与えられたとすると、それからＣの値を求める事は可能でしょうか。
について、n=110、C=58等 在ります....。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
ｋ．ｎｉｋａさんと、らすかるさんの投稿を見ていて興味が湧いたので、いくつかの数値で調査
してみました。
A＋(B＋(B−１)＋・・・＋(B−ｎ))＝C2/２
の関係が成立する非負整数(A、B、ｎ、C)の組合せです。
A B ＜素数＞ n C または n C
1 1 17 ： 1 2 ：
1 4 89 ： 1 4 ： 6 4
1 7 233 ： 13 4 ：
1 10 449 ： 6 10 ： 13 10
2 2 41 ： 4 2 ：
2 4 97 ： 8 2 ：
2 5 137 ： 10 2 ：
2 7 241 ： 14 2 ：
2 10 457 ： 20 2 ：
3 3 73 ： 1 4 ： 4 4
3 6 193 ： 2 6 ： 9 6
3 8 313 ： 1 6 ： 14 6
4 1 41 ： 3 2 ：
4 4 113 ： 7 4 ：
4 7 257 ： 6 8 ： 7 8
5 9 401 ： 8 10 ： 9 10
6 3 97 ： 7 2 ：
6 8 337 ： 3 8 ：
6 9 409 ： 7 10 ： 10 10
7 4 137 ： 9 2 ：
7 7 281 ： 4 8 ：
8 1 73 ： 2 4 ：
8 2 89 ： 4 4 ：
8 3 113 ： 6 4 ：
8 6 233 ： 12 4 ：
9 2 97 ： 6 2 ：
9 5 193 ： 1 6 ： 8 6
9 6 241 ： 13 2 ：
9 9 433 ： 17 6 ：
10 1 89 ： 3 4 ：
10 10 521 ： 4 10 ： 15 10
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
私のレスの意味は、「８A＋(２B＋１)2 が素数」ならば「A,Bが数百桁の数であっても確実に
現実的な時間で求められる」、「８A＋(２B＋１)2 が非素数」ならば「A,Bが数百桁の数の場合
は一般的に現実的な時間で求める方法はないように思える」（ただし、非素数でも素数×平
方数であれば求められる）ということです。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
ｋ．ｎｉｋａ 様は、例えば、
A + Σｋ=0〜ｎ ｛B + (7k2 + 5k + 3)｝= C2/2 、A + Σｋ=0〜ｎ ｛B + (k2 - k + 3)｝= C2/2
の逆バージョンで、
A + Σｋ=0〜ｎ ｛B - (7k2 + 5k + 3)｝= C2/2 、A + Σｋ=0〜ｎ ｛B - (k2 - k + 3)｝= C2/2
更に、（右辺も変え) A + Σｋ=0〜ｎ ｛B + (k2012 - 117117k5 + 33)｝= C2013/2013 の如き
問題群を研究されておられるのですか？そもそも背景は何処に在るのでしょうか？問題意
識を何週間も保持されておられるので、その近辺の問題達を是非御提示下さい。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年３月１９日付け）
問題背景がお知りになりたいとの事ですので、ご説明させて頂きます。
只今、ＲＳＡChallengeにおける素因数分解問題について考えております。ある条件に一致
する二つの素数の積があり、たとえば、Q=5×61=305 について、この「305」という数のみを
ちょっとしたプログラムに通すと、「A=7、B=10」という数が求まります。これを、最初の質問の
式に代入すると、
7+(10+11+12+・・・+(10+n))=C2/2
ここで、「C=14」が求まれば、 G2=Q+(2C)2 という式に代入して、
G2=305+(2・14)2=305+282=332 、305=332-282=(33-28)(33+28)=5×61
として、素因数分解が完成する予定でした。ちなみに、ＲＳＡ４００では、
A= 7826143145907768312363800540240009209563494717995458691173855908194493690366028733
0426998011439677125420489550177331885161902888360814407388204362595189379234219485
51751905367168186738074744105255925
B= 224393453499941008847585450314017294852257795444816702857687565908832297035046634
426895821642678079113358552930441503410784781632196486773993165875020983902873848
79486984877346295841094490132985246196
となります。
参考：RSAChallenge （→ ＲＳＡ numbers）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月２０日付け）
數週間拘り續けられる理由の背景は、(Ron Rivest)(Adi Shamir)(Len Adleman) の頭文字
をつなげてRSA暗号ですか...。（→ 参考：「暗号の仕組み」、「公開鍵暗号の作り方」
ところで、「Q=5*61=305」の「5」と「61」は、ガウスの思想圏内では非素数で、「5」の素因數
分解が、-I・(1 + 2・I)(2 + I) で、「61」の素因數分解が、-I・(5 + 6・I)(6 + 5・I) となるのです
が ....。ガウスの思想圏内での暗号に、危険回避理論は構築されているのでしょうか？（全く
門外漢の質問です）
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年３月２２日付け）
逆バージョンの式において、RSA450の
A=11797584850822086159334419102630376744413697094865381707635197417878796523189939732
15727624863773264931916596518876617452724475391110693232510933991573454530164146758
49149257314765909526852512035949815895342654231476791738199
B=22274616927922894267479402893623924841513805935715353639700510690943795155248246597
03482717975255529759682479401222306905534267300848462337093449033464782840246103741
34170795178795626749325414698385049918620753818969020679739
が、「8A+(2B+1)2 が素数ならば求められるようです。」とのことで、F=8A+(2B+1)2 とすると、
F=19846342371428366234972307218611314277894628692588620898785380098715986925690078791
59168424236726252970465267368671149398544600349426558735839315537811580324470611551
45160770580926824366573211993981662614635734812647448360573856313224749171552699727
81155149056189532534439574358815035934148423670960461827643434794849824315251510662
85569926962420745136573838425549782339099628391832876674191729880722219965324033002
58906083211160744508191024837057033
これが素数っぽいのですが、いかがでしょうか。ただし、逆バージョンにおいては、すぐ素
因数分解とは行かず、
H2=(RSA450)-(2C)2 、RSA450=H2+(2C)2
と、平方和で表す事が出来るだけです。もう一つの平方和をどう見つけるかは、今後の課題
です。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月２２日付け）
「これが素数っぽいのですがいかがでしょうか。」について、２F-1 mod F が１になりません
ので、素数ではないですね。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年３月２２日付け）
巨大素数の合成数か、あるいは素数かと思ったのですが、残念です。今度は、自分でも
冪剰余計算が出来るように頑張りたいと思います。有難うございました。
ｋ．ｎｉｋａ さんからのコメントです。（平成２４年３月２５日付け）
A＋(B＋(B−１)＋・・・＋(B−ｎ))＝C2/２ (A、B、C、ｎ は非負整数)
の式において、ニ素数積を、Q=13×53=689 とする。
A=8、B=12 として、 8+(12+11+10+9)=102/2
これを、らすかるさんの式に代入すると、 F=8*8+(2*12+1)2=689 となり、どうも F=Q と
なってしまいそうです。