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 当HPの掲示板「出会いの泉」に平成24年3月4日付けでHN「GAI」さんが、次のような質
問を書き込まれた。

 y2=x3+877x を満たす整数解(x,y)はどのようなものになりますか?数学ソフトで探せ
るものなら、使い方を知りたいです。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 数学ソフトではないですが、簡易的に調べる方法として、Google Chrome でF12キーを押し、
Console の所をクリックし、

 for(x=0;x<1000;x++)if(Math.sqrt(x*(x*x+877))%1==0)document.write("x="+x+", ");
document.write("end.");


と張り付けると、「x=0, end.」。同様にして、1,000,000 まででは、0 だけでした。この単純な
方法では、その辺りからコンピュータに負担がかかります。(いちいち平方根を計算させて1
で割った余りが0か調べています)

 もっと大きな数まで調べるには本格的なプログラムを使った方が良いと思います。数学ソ
フトについては詳しくないので分かりません...。S(H)さん紹介の「PARI/GP」は本格的に見え
ます。


 GAI さんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 聞いてみるものですね。こんな機能があるなんて全く知りませんでした。ひょっとして私の
勘違いである可能性がありました。整数解ではなく、有理数解の場合はどう対応したらいい
のでしょうか?


 らすかるさんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 (私の考察などが間違っていなければですが...) y2=x3+877x の解は、x≦1019700
の範囲で、(x,y)=(0,0) だけでした。(0,0) の他に、解は存在しない雰囲気です。


 S(H)さんからのコメントです。(平成24年3月4日付け)

 x2-5y2=1 程度なら、「Table[Sqrt[1 + 5*y^2], {y, 23169, 23186}]」を「Wolfram|Alpha」に挿入
すれば、立ちどころに求められる。

 空舟様、らすかる様により、自明な解以外存在しない予想で、証明は、GAI様の出番です。
証明不可能であれば、反例探しで、らすかる様駆使の「PARI/GP」等の出番です。

 「SAGE」は、とてもよさげです。(→ 参考:例1例2

 (参考サイト) 2=x3+877x の有理点について


 空舟さんからのコメントです。(平成24年3月5日付け)

 webサイト:「楕円曲線上の有理点」で、楕円曲線上の有理点、及び、いろいろな不定方程
式の解について、このような方程式に関するデータがありました。

 x は、109までで調べているようですから、y2=x3+877x ではもちろん(0,0)のみとなって
います...。


 GAI さんからのコメントです。(平成24年3月5日付け)

 空舟さんから紹介していただいたwebサイト:「楕円曲線上の有理点」は凄い。この中を覗
いていたら、単なる日頃目にする数字の中に、摩訶不思議な繋がりが潜んでいることに思い
至らせてくれます。その中のいくつかを紹介します。

 (-296)3+(-881)3+8923=111 、203+353+(-37)3=222 、(-2)3+53+63=333

 34607953+48202893+(-14882930)3=444 、23+(-13)3+143=555 、13+(-6)3+93=666

 (-1005823)3+(-3912759)3+39347903=777 、(-37)3+(-46)3+533=888

 03+(-1)3+103=999

 また、(-34)3+(-45)3+513=2222 、(-5)3+(-23)3+253=3333 、123+(-13)3+173=4444

  33+(-11)3+193=5555 、28163+81713+(-8281)3=6666 、(-1)3+(-35)3+373=7777

  183+(-20)3+233=9999 ・・・ 1111、8888 は、無理なんだろうか?

 無数の数字を組合せる方法がまた無数にあり、その中で成り立つ関係なんだろうけど、ラ
ンダムの中に発生するキラリと光る砂金のような感覚が起こります。


 らすかるさんが、方程式の解について考察されました。(平成24年3月5日付け)

 y2=x3+877x に、非自明解が存在しないと思う根拠を書きます。もし間違いがあれば、
ご指摘下さい。

 自明な解を除けば、x>0 で、 y2=x(x2+877) とする。

 xが877の倍数でないとすると、877は素数なので、x と x2+877 は互いに素。ゆえに、x と

2+877 は両方とも平方数。 x2+877 が平方数になるためには、x≦438が必要。

元の式を、mod4、mod5 で考えると、x≡0 (mod 20) とわかるので、x=100、400 しかあり

得ないが、両方とも x2+877 が平方数にならない。よって、x は877の倍数。

 そこで、x=877k とおいて整理すると、 y2=8772・k(877k2+1)

 kと877k2+1は互いに素だから、両方とも平方数で、k=s2 とおけば、877s4+1 が平方数、

つまり、t2=877s4+1 となり、この解を求めれば良いが、解けそうにないので、t2=877k2+1 の

解 k が平方数になるかどうかを調べる。t2-877k2=1 というペル方程式の解 k は、

  a[0]=0 、a[1]=3933131148 、a[n]=232952953106a[n-1]+a[n-2]

という漸化式で表せる。ここで、3933131148=22・33・29・41・109・281 なので、t2-877k2=1 の

解 k は、すべて 29、41、109、281 で割り切れる。

 k は平方数でなければならないので、292、412、1092、2812 で割り切れなければならない。

 b[n]=a[n]/29 とすると、 b[0]=0、b[1]=135625212、b[n]=232952953106b[n-1]+b[n-2]

となるが、b[n]を29で割った余りは順に、

 0,13,3,7,18, 0,18,22,3,16, 0,16,26,22,11, 0,11,7,26,13, 0,13,3,7,18,…

と周期20で5個ごとに0になるので、平方数となる可能性があるのはa[5n]に限られる。同様に、

  a[n]/41を41で割った余りを考えると、a[10n]

  a[n]/109を109で割った余りを考えると、a[55n]

  a[n]/281を281で割った余りを考えると、a[140n]

 従って、(29・41・109・281)2で割り切れるのは、a[1540n]となる。

 c[n]=a[1540n] とおくと、同様の漸化式は理論的には簡単に立てられるが、c[1]で既に、約

6.615×10^17503 という17504桁の数になるので、漸化式の次の項を計算するだけで大変。

 ちなみに、c[1]を素因数分解すると、

  24・34・5・17・292・412・59・61・67・83・89・1092・113・139・233・2812・421・461・701・769・
 859・881・911・2243・3851・9241・11131・13859・27581・38921・51521・53861・58309・
 69661・…

となり、確かに、292、412、1092、2812 で割り切れるが、平方でない素因数が大きく増えてい
て、もし、上と同じことをやったとすると、これらすべての素因数が平方になる項は途方もな
い桁数になり、おそらくまた、非平方の素因数も莫大に増えるであろうから、非自明解は存
在しないと思われる。


 GAI さんからのコメントです。(平成24年3月5日付け)

 同じ問題を眺めても、こうも思考する深さが違うことが痛感されます。ペル方程式と楕円曲
線が密接に関係し合っていることがなんとなく感じられます。

 問題がちょっとちがって、y2=x2+877 なら、(x,y)=(438,439) という整数解は存在する
というのに・・・。


 空舟さんからのコメントです。(平成24年3月6日付け)

 HN「H.N.」さんのWebサイトによれば、y2=x3+877x の有理点として、

(375494528127162193105504069942092792346201/
                         6215987776871505425463220780697238044100,
-256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/
         490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)

があるという。すごい数字ですね...


 らすかるさんの考察の続報です。(平成24年3月6日付け)

 考察といっても、答えが出せるわけではないので、ただの落書きです。

 x=s/t、y=p/q (sとtは互いに素、pとqは互いに素)を代入して整理すると、

  (p2t-877q2s)t2=q23

 sとtは互いに素だから、qはtで割り切れ、q=at とおける。このとき、pとqが互いに素なの
で、pとaは互いに素、pとtは互いに素となる。

 q=at を代入して整理すると、 p2t=a2(s3+877st2)

 pとaは互いに素だから、tは、a2で割り切れ、t=ba2 とおける。

このとき、sとtは互いに素なので、sとaは互いに素、sとbは互いに素となる。

 t=ba2 を代入して整理すると、 (p2-877sba4)b=s3

 sとbは互いに素だから、b=1、よって、t=a2、 q=at=a3 となる。

 b=1 を代入すると、 p2=s(s2+877a4)

 sが877の倍数の場合、s=877k とおいて整理すると、 p2=8772k(877k2+a4)

 kと877k2+a4は互いに素だから、kは平方数。k=m2 を代入して整理すると、

  {p/(877m)}2=877m4+a4 … (1)

 一方、sが877の倍数でない場合、sとaが互いに素から、sとs2+877a4は互いに素なので、

sは平方数。s=n2 を代入して整理すると、 (p/n)2=n4+877a4 … (2)

 従って、どちらの場合も u4+877v4=w2 を満たす整数 u、v、w を探すことに帰着する。逆

算して整理すると、u4+877v4=w2 を満たす u、v、w に対して、

  x=877(v/u)2 、y=877vw/u3 … (a)  と x=(u/v)2 、y=uw/v3 … (b)

が、y2=x3+877x を満たす。(y2=x3+877x を満たす解は必ずこのどちらかとなる。)

 Webサイトには、y2=x3+877x の解が4つ書かれていますが、最初の3個が上記(b)の
タイプ(xが有理数の平方であるタイプ)、最後の1個が上記(a)のタイプ(x/877が有理数の
平方であるタイプ)です。

 最初の1個から、(b)により、u4+877v4=w2 を満たす u、v、w を逆算すると、

 u=612776083187947368101 、v=78841535860683900210 、

 w=418189082471629807342957247493327168750049

となりますが、これを(a)に当てはめると、最後の1個の解が出てきます。2番目と3番目は、
(u,v,w)の組が上記と異なる(b)のタイプですが、これから u、v、w を逆算して(a)に当ては
めると、このサイトに書かれていない解が2個見つかります。


(追記) HN「H.N.」さんからメールにてコメントをいただきました。(令和3年3月6日付け)

 「y^2=x^3+877x を満たす整数解(x,y)」についてですが、楕円曲線 E:y^2=x^3+877*x は、
rank 1であり、その有理点群は、Z × (Z/2Z)です。

 ねじれ点部分群Z/2Zの生成元は、位数2の(0,0)であり、2(0,0)=Oです。(Oは無限遠点)

 自由部分群Zの生成元はWebサイトに記載してある通り、

P(375494528127162193105504069942092792346201/6215987776871505425463220780697238044100,
-256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/
                  490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)

です。

 Eの有理点群を求めることができたら、その中に含まれるEの整点(x,y座標が共に整数で
ある点)を決定することができます。

 生成元Pのx、y座標のどちらも整数でないので、

  ±P 、±P+(0,0) 、±2P 、±2P+(0,0) 、±3P 、±3P+(0,0) 、....

の中には、整点は存在しません。よって、楕円曲線Eの整点は、(0,0)とOの2個です。

 つまり、不定方程式 y^2=x^3+877*x の整数解は、x=y=0 のみとなります。

P.S. 現在は、楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=2488の有理点の計算に取り組んでいるのですが、
  当初思ったよりも時間がかかっており、まだ計算結果が出ていません。

(参考) 「楕円曲線の話題


(追記) HN「H.N.」さんからメールにてコメントをいただきました。(令和3年6月17日付け)

 上記のP.S.に書いた「楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=2488の有理点」の計算ですが、約72.3日
の計算時間を掛けて、以下の有理点が求まりました。

[X:Y:Z]=

[-30980081003267957830180402250058909564206531212283719595671280876932261859
 26543800461720049461498648185087735591705056115957310371169900895878163145
 88898890927314763219173139828766890302269666414843232720679048545701470579
 54568951546881725153473848864343725450122943637576961402907903086751859617
 60440086174080223941258502066760638738901606223436537553840506319261570934
 44543713255175168411317503946227949148861461885329020202345008639398947961
 47335847123204384828162794524569224151305126629289517502584193707302149651
 04817732875777394867813017087653246508506038234220508000478713997792773594
 41715322332365913286617168902107933460788892245923650977335167150242774911
 59848143170212417548246901596223754827638570325020842903768893320170842309
 06617823315480104184862224766484563612287852390133537190494086350817914980
 09304533951293099044740955977354027655879979267806352703631334512637059515
 05488915009694182968578679944997006373857479435711664230989618472031124904
 89370013027669809813315143230072657125652301967956847857096097658124637074
 77431465482749492499050715591114773163738867459321661046270911463904795659
 09796355817473774085793165100141273813369802006323127768607969387934956006
 50881234551411257738089961251473713377020486701218132813194122317832407782
 98436219228571751502580247131944319523495225102882102223336075113660967136
 19535180235800243248632494179536214060373946393431477222515235994449204928
 08300400840065498287322599020085362027236787295216565582622894229335310008
 00792356298697482051584124929207360874403182131012743833817831955168098153
 15879864690186760659740862364481096973655466685796858469099995465352070532
 82738395941947880624379505424517882376788384549068204737552472342279547298
 14643557310712757157064049806173383801220107753026603081973741609516567887
 67374552836024139099402519316173536102692133791006452529235894435425343653
 49141824753006574675579853596035991341459625347816015596028744430745404745
 18379920658398064567919822333033491111563044057347726654743714209898777818
 21626040692889864446154666352629877691018192323854988092755745466070750009
 29810584671575260108366218472156666517006445940710193477338175634990834302
 02658108406391301476483635258018600758479275538570911635533198480792476330
 86436
 :
?-12451568579594501568885091974497314220158299387453685174483335184501722090
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 93006973292465581658696383268816744987941808811171620164344649286421014230
 90213932252277123208016111468859409317147639389761522895125043906876656533
 35060299411809075626067765945075209969167591053375942215184900502529892908
 87111242858087013878818758585616730796311318363889068333336833503368847244
 40838209149550696529412054611872776771140512962969052281424552651783917796
 24316767255062532694159544020801214050721921641277991227695607580325998166
 65085732662521927350063305731285523274925627373039314849958764525502535538
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 893]

 これで、0≦n≦2500 までのnについて、楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=n の有理点群を決定で
きたことになります。


(参考) 「X/Y+Y/Z+Z/X=n (2001≦n≦2500)の有理点


(コメント) HN「H.N.」さん、長時間の計算、お疲れ様でした!



   以下、工事中!