当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に平成２４年３月４日付けでＨＮ「ＧＡＩ」さんが、次のような質
問を書き込まれた。
ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ を満たす整数解（ｘ，ｙ）はどのようなものになりますか？数学ソフトで探せ
るものなら、使い方を知りたいです。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
数学ソフトではないですが、簡易的に調べる方法として、Google Chrome でF12キーを押し、
Console の所をクリックし、
for(x=0;x<1000;x++)if(Math.sqrt(x*(x*x+877))%1==0)document.write("x="+x+", ");
document.write("end.");
と張り付けると、「ｘ=0, end.」。同様にして、1，000，000 まででは、0 だけでした。この単純な
方法では、その辺りからコンピュータに負担がかかります。(いちいち平方根を計算させて1
で割った余りが0か調べています)
もっと大きな数まで調べるには本格的なプログラムを使った方が良いと思います。数学ソ
フトについては詳しくないので分かりません...。S(H)さん紹介の「PARI/GP」は本格的に見え
ます。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
聞いてみるものですね。こんな機能があるなんて全く知りませんでした。ひょっとして私の
勘違いである可能性がありました。整数解ではなく、有理数解の場合はどう対応したらいい
のでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
（私の考察などが間違っていなければですが．．．） ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ の解は、ｘ≦1019700
の範囲で、(ｘ，ｙ)＝(０，０) だけでした。(０，０) の他に、解は存在しない雰囲気です。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
ｘ2-5ｙ2=1 程度なら、「Table[Sqrt[1 + 5*y^2], {y, 23169, 23186}]」を「Wolfram|Alpha」に挿入
すれば、立ちどころに求められる。
空舟様、らすかる様により、自明な解以外存在しない予想で、証明は、ＧＡＩ様の出番です。
証明不可能であれば、反例探しで、らすかる様駆使の「PARI/GP」等の出番です。
「ＳＡＧＥ」は、とてもよさげです。（→ 参考：例１、例２）
（参考サイト） ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ の有理点について
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月５日付け）
ｗｅｂサイト：「楕円曲線上の有理点」で、楕円曲線上の有理点、及び、いろいろな不定方程
式の解について、このような方程式に関するデータがありました。
ｘ は、109までで調べているようですから、ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ ではもちろん(0，0)のみとなって
います．．．。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年３月５日付け）
空舟さんから紹介していただいたｗｅｂサイト：「楕円曲線上の有理点」は凄い。この中を覗
いていたら、単なる日頃目にする数字の中に、摩訶不思議な繋がりが潜んでいることに思い
至らせてくれます。その中のいくつかを紹介します。
(-296)3+(-881)3+8923=111 、203+353+(-37)3=222 、(-2)3+53+63=333
34607953+48202893+(-14882930)3=444 、23+(-13)3+143=555 、13+(-6)3+93=666
(-1005823)3+(-3912759)3+39347903=777 、(-37)3+(-46)3+533=888
03+(-1)3+103=999
また、(-34)3+(-45)3+513=2222 、(-5)3+(-23)3+253=3333 、123+(-13)3+173=4444
33+(-11)3+193=5555 、28163+81713+(-8281)3=6666 、(-1)3+(-35)3+373=7777
183+(-20)3+233=9999 ・・・ 1111、8888 は、無理なんだろうか？
無数の数字を組合せる方法がまた無数にあり、その中で成り立つ関係なんだろうけど、ラ
ンダムの中に発生するキラリと光る砂金のような感覚が起こります。
らすかるさんが、方程式の解について考察されました。（平成２４年３月５日付け）
ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ に、非自明解が存在しないと思う根拠を書きます。もし間違いがあれば、
ご指摘下さい。
自明な解を除けば、ｘ＞0 で、 ｙ2＝ｘ（ｘ2＋877） とする。
ｘが877の倍数でないとすると、877は素数なので、ｘ と ｘ2＋877 は互いに素。ゆえに、ｘ と
ｘ2＋877 は両方とも平方数。 ｘ2＋877 が平方数になるためには、ｘ≦438が必要。
元の式を、mod4、mod5 で考えると、ｘ≡0 (mod 20) とわかるので、ｘ=100、400 しかあり
得ないが、両方とも ｘ2＋877 が平方数にならない。よって、ｘ は877の倍数。
そこで、ｘ=877ｋ とおいて整理すると、 ｙ2＝8772・ｋ(877ｋ2+1)
ｋと877ｋ2+1は互いに素だから、両方とも平方数で、ｋ=s2 とおけば、877ｓ4+1 が平方数、
つまり、t2=877s4+1 となり、この解を求めれば良いが、解けそうにないので、t2=877ｋ2+1 の
解 ｋ が平方数になるかどうかを調べる。t2-877ｋ2=1 というペル方程式の解 ｋ は、
a[0]=0 、a[1]=3933131148 、a[n]=232952953106a[n-1]+a[n-2]
という漸化式で表せる。ここで、3933131148=22・33・29・41・109・281 なので、t2-877ｋ2=1 の
解 ｋ は、すべて 29、41、109、281 で割り切れる。
ｋ は平方数でなければならないので、292、412、1092、2812 で割り切れなければならない。
b[n]=a[n]/29 とすると、 b[0]=0、b[1]=135625212、b[n]=232952953106b[n-1]+b[n-2]
となるが、b[n]を29で割った余りは順に、
0,13,3,7,18, 0,18,22,3,16, 0,16,26,22,11, 0,11,7,26,13, 0,13,3,7,18,…
と周期20で5個ごとに0になるので、平方数となる可能性があるのはa[5n]に限られる。同様に、
a[n]/41を41で割った余りを考えると、a[10n]
a[n]/109を109で割った余りを考えると、a[55n]
a[n]/281を281で割った余りを考えると、a[140n]
従って、(29・41・109・281)2で割り切れるのは、a[1540n]となる。
c[n]=a[1540n] とおくと、同様の漸化式は理論的には簡単に立てられるが、c[1]で既に、約
6.615×10^17503 という17504桁の数になるので、漸化式の次の項を計算するだけで大変。
ちなみに、c[1]を素因数分解すると、
24・34・5・17・292・412・59・61・67・83・89・1092・113・139・233・2812・421・461・701・769・
859・881・911・2243・3851・9241・11131・13859・27581・38921・51521・53861・58309・
69661・…
となり、確かに、292、412、1092、2812 で割り切れるが、平方でない素因数が大きく増えてい
て、もし、上と同じことをやったとすると、これらすべての素因数が平方になる項は途方もな
い桁数になり、おそらくまた、非平方の素因数も莫大に増えるであろうから、非自明解は存
在しないと思われる。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年３月５日付け）
同じ問題を眺めても、こうも思考する深さが違うことが痛感されます。ペル方程式と楕円曲
線が密接に関係し合っていることがなんとなく感じられます。
問題がちょっとちがって、ｙ2＝ｘ2＋８７７ なら、(ｘ，ｙ)＝(438，439) という整数解は存在する
というのに・・・。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月６日付け）
ＨＮ「Ｈ．Ｎ．」さんのＷｅｂサイトによれば、ｙ2＝ｘ3＋８７７ｘ の有理点として、
(375494528127162193105504069942092792346201/
6215987776871505425463220780697238044100，
-256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/
490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)
があるという。すごい数字ですね...
らすかるさんの考察の続報です。（平成２４年３月６日付け）
考察といっても、答えが出せるわけではないので、ただの落書きです。
ｘ=s/t、ｙ=p/q （sとtは互いに素、pとqは互いに素）を代入して整理すると、
(ｐ2t-877ｑ2s)t2=ｑ2ｓ3
ｓとｔは互いに素だから、ｑはｔで割り切れ、ｑ=ａｔ とおける。このとき、ｐとｑが互いに素なの
で、ｐとａは互いに素、ｐとｔは互いに素となる。
ｑ=ａｔ を代入して整理すると、 ｐ2ｔ=ａ2(ｓ3+877ｓｔ2)
ｐとａは互いに素だから、ｔは、ａ2で割り切れ、ｔ=ｂａ2 とおける。
このとき、ｓとｔは互いに素なので、ｓとａは互いに素、ｓとｂは互いに素となる。
ｔ=ｂａ2 を代入して整理すると、 (ｐ2-877ｓｂａ4)ｂ=ｓ3
ｓとｂは互いに素だから、ｂ=1、よって、ｔ=ａ2、 ｑ=ａｔ=ａ3 となる。
ｂ=1 を代入すると、 ｐ2=ｓ(ｓ2+877ａ4)
ｓが877の倍数の場合、ｓ=877ｋ とおいて整理すると、 ｐ2=8772ｋ(877ｋ2+ａ4)
ｋと877ｋ2+ａ4は互いに素だから、ｋは平方数。ｋ=ｍ2 を代入して整理すると、
{ｐ/(877ｍ)}2=877ｍ4+ａ4 … (1)
一方、ｓが877の倍数でない場合、ｓとａが互いに素から、ｓとｓ2+877ａ4は互いに素なので、
ｓは平方数。ｓ=ｎ2 を代入して整理すると、 (ｐ/ｎ)2=ｎ4+877ａ4 … (2)
従って、どちらの場合も ｕ4+877ｖ4=ｗ2 を満たす整数 ｕ、ｖ、ｗ を探すことに帰着する。逆
算して整理すると、ｕ4+877ｖ4=ｗ2 を満たす ｕ、ｖ、ｗ に対して、
ｘ=877(ｖ/ｕ)2 、ｙ=877ｖｗ/ｕ3 … (a) と ｘ=(ｕ/ｖ)2 、ｙ=ｕｗ/ｖ3 … (b)
が、ｙ2＝ｘ3＋877ｘ を満たす。（ｙ2＝ｘ3＋877ｘ を満たす解は必ずこのどちらかとなる。）
Ｗｅｂサイトには、ｙ2＝ｘ3＋877ｘ の解が４つ書かれていますが、最初の３個が上記(b)の
タイプ（ｘが有理数の平方であるタイプ）、最後の１個が上記(a)のタイプ（ｘ/877が有理数の
平方であるタイプ）です。
最初の１個から、(b)により、ｕ4+877ｖ4=ｗ2 を満たす ｕ、ｖ、ｗ を逆算すると、
ｕ=612776083187947368101 、ｖ=78841535860683900210 、
w=418189082471629807342957247493327168750049
となりますが、これを(a)に当てはめると、最後の１個の解が出てきます。２番目と３番目は、
(ｕ，ｖ，ｗ)の組が上記と異なる(b)のタイプですが、これから ｕ、ｖ、ｗ を逆算して(a)に当ては
めると、このサイトに書かれていない解が２個見つかります。
（追記） ＨＮ「Ｈ．Ｎ．」さんからメールにてコメントをいただきました。（令和３年３月６日付け）
「y^2=x^3+877x を満たす整数解（x，y）」についてですが、楕円曲線 E：y^2=x^3+877*x は、
rank 1であり、その有理点群は、Z × (Z/2Z)です。
ねじれ点部分群Z/2Zの生成元は、位数2の(0,0)であり、2(0,0)=Oです。(Oは無限遠点)
自由部分群Zの生成元はＷｅｂサイトに記載してある通り、
P(375494528127162193105504069942092792346201/6215987776871505425463220780697238044100,
-256256267988926809388776834045513089648669153204356603464786949/
490078023219787588959802933995928925096061616470779979261000)
です。
Eの有理点群を求めることができたら、その中に含まれるEの整点(x,y座標が共に整数で
ある点)を決定することができます。
生成元Pのx、y座標のどちらも整数でないので、
±P 、±P+(0,0) 、±2P 、±2P+(0,0) 、±3P 、±3P+(0,0) 、....
の中には、整点は存在しません。よって、楕円曲線Eの整点は、(0,0)とOの２個です。
つまり、不定方程式 y^2=x^3+877*x の整数解は、x=y=0 のみとなります。
P.S. 現在は、楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=2488の有理点の計算に取り組んでいるのですが、
当初思ったよりも時間がかかっており、まだ計算結果が出ていません。
（参考） 「楕円曲線の話題」
（追記） ＨＮ「Ｈ．Ｎ．」さんからメールにてコメントをいただきました。（令和３年６月１７日付け）
上記のP.S.に書いた「楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=2488の有理点」の計算ですが、約７２．３日
の計算時間を掛けて、以下の有理点が求まりました。
[X：Y：Z]=
[-30980081003267957830180402250058909564206531212283719595671280876932261859
26543800461720049461498648185087735591705056115957310371169900895878163145
88898890927314763219173139828766890302269666414843232720679048545701470579
54568951546881725153473848864343725450122943637576961402907903086751859617
60440086174080223941258502066760638738901606223436537553840506319261570934
44543713255175168411317503946227949148861461885329020202345008639398947961
47335847123204384828162794524569224151305126629289517502584193707302149651
04817732875777394867813017087653246508506038234220508000478713997792773594
41715322332365913286617168902107933460788892245923650977335167150242774911
59848143170212417548246901596223754827638570325020842903768893320170842309
06617823315480104184862224766484563612287852390133537190494086350817914980
09304533951293099044740955977354027655879979267806352703631334512637059515
05488915009694182968578679944997006373857479435711664230989618472031124904
89370013027669809813315143230072657125652301967956847857096097658124637074
77431465482749492499050715591114773163738867459321661046270911463904795659
09796355817473774085793165100141273813369802006323127768607969387934956006
50881234551411257738089961251473713377020486701218132813194122317832407782
98436219228571751502580247131944319523495225102882102223336075113660967136
19535180235800243248632494179536214060373946393431477222515235994449204928
08300400840065498287322599020085362027236787295216565582622894229335310008
00792356298697482051584124929207360874403182131012743833817831955168098153
15879864690186760659740862364481096973655466685796858469099995465352070532
82738395941947880624379505424517882376788384549068204737552472342279547298
14643557310712757157064049806173383801220107753026603081973741609516567887
67374552836024139099402519316173536102692133791006452529235894435425343653
49141824753006574675579853596035991341459625347816015596028744430745404745
18379920658398064567919822333033491111563044057347726654743714209898777818
21626040692889864446154666352629877691018192323854988092755745466070750009
29810584671575260108366218472156666517006445940710193477338175634990834302
02658108406391301476483635258018600758479275538570911635533198480792476330
86436
：
-12451568579594501568885091974497314220158299387453685174483335184501722090
62669970133569273559850057631824004297341512961696210665637986101287546467
67588216159938609739767062099991455722288695362986777030837689008535495213
55650516827930658600565725712758065725697840592895416018547618965887701730
00449746148038041919924613260475171622617241788501027803412111722179487606
93006973292465581658696383268816744987941808811171620164344649286421014230
90213932252277123208016111468859409317147639389761522895125043906876656533
35060299411809075626067765945075209969167591053375942215184900502529892908
87111242858087013878818758585616730796311318363889068333336833503368847244
40838209149550696529412054611872776771140512962969052281424552651783917796
24316767255062532694159544020801214050721921641277991227695607580325998166
65085732662521927350063305731285523274925627373039314849958764525502535538
09176964680314741230998800367149976908406479518265632557854414836409769446
69065075726422255704079566471598769550668485509599523168241189604994054598
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893]
これで、0≦ｎ≦2500 までのｎについて、楕円曲線X/Y+Y/Z+Z/X=ｎ の有理点群を決定で
きたことになります。
（参考） 「X/Y+Y/Z+Z/X=ｎ (2001≦ｎ≦2500)の有理点」
（コメント） ＨＮ「Ｈ．Ｎ．」さん、長時間の計算、お疲れ様でした！
以下、工事中！