当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に平成２４年３月３日付けでＨＮ「ＧＡＩ」さんが、次のような質
問を書き込まれた。
カタラン予想（２００２年にミハイレスクにより証明）
不定方程式 ｘa−ｙb＝１ において、ｘ、ａ、ｙ、ｂ＞1を満たす自然数解の組み合わせは、
ｘ＝３、ａ＝２、ｙ＝２、ｂ＝３ だけである。
これを真似て、ガウス整数（ａ+b・i ａ、ｂは整数）まで数を広げて、
２つのガウス整数 Ｚ，Ｗで、Ｚ2−Ｗ3＝i (虚数単位）や Ｚ2−Ｗ3＝-i 、Ｚ2−Ｗ3＝-1
の条件を満たすものがあるかご存知の方お知らせ下さい。また、存在するなら、具体的な
Ｚ，Ｗを教えてください。
この質問に対して、空舟さんが考察されました。（平成２４年３月３日付け）
Z、W の実部、虚部が100以下の範囲でちょっとしらみつぶしに調べてみました。
<script>var d2=[],d3=[];
function t2(x,y){d2[[x,y]]=true;
if(d3[[x+1,y]]||d3[[x-1,y]]||d3[[x,y+1]]||d3[[x,y-1]])
document.write("["+x+","+y+"], ");}
function t3(x,y){d3[[x,y]]=true;
if(d2[[x+1,y]]||d2[[x-1,y]]||d2[[x,y+1]]||d2[[x,y-1]])
document.write("["+x+","+y+"], ");}
for(a=0;a<100;a++){for(b=0;b<=a;b++){
var a2=Math.abs(a*a-b*b),b2=2*a*b,
a3=Math.abs(a*a*a-3*a*b*b),b3=Math.abs(3*a*a*b-b*b*b);
t2(a2,b2); t3(a3,b3); t3(b3,a3);}}
</script>
出力は [1,0], [1,0], [0,1], [0,2], [9,0], [0,12168], でした。
確かに、12168=23・32・132、 12167=233 なので、12168i=(78+78i)2 、 12167i=(-23i)3
ということになります。なかなか自明でない解があるようです。
Ｓ（Ｈ）さんが類似問題を提起されました。（平成２４年３月４日付け）
整( Z ,Z[i]....etc) 係数多変数高次不定方程式の具体例です。
Z[i] に於ける不定方程式の解を幾つか求めて下さい。
(1) Z2 - W3= 260075 + 284642・I
(2) (2 + 8・I)Z7 - W3 = 9738768178276888 - 5580585517745774・I
(此処に、2 + 8・I はガウス素数ではなく、{{-I, 1}, {1 + I, 2}, {1 + 4・I, 1}} です。）
(3) 1111111111111111111・Z7-W3=-411227905033269999958877209242891
- 1455413667650415555410014188525996・I
(此処に、1111111111111111111 は、Zに於いて素数で、Z[i]においても素数です。）
1111111111......111111111・Z7-W3=a+b・i (a+b・i∈Z[i]) で問題を創作して下さい。
（→ 参考：「Catalan's Conjecture」）
上の各問を、「Eisenstein Integer」に改竄して考察願います。（→ 参考：「Eisenstein Prime」）
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
実部、虚部を10000以下まで広げて調べても、他の解は見つかりませんでした。もしかした
ら非自明解は、 (78+78i)2-(-23i)3=i だけかも知れませんね。
空舟さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
そうなると、そんな気がします。平方数、立法数は原点から離れていくと予想以上にまばら
でした。
Ｓ（Ｈ）さんの問(1)に対しては、しらみつぶし法 により、
(117+86・i)2 = 20124・i+6293 、(-69-19・i)3 = -264518・i-253782 なので、
(117+86・i)2-(-69-19・i)3= 260075 + 284642・ｉ
を得ました。(2)(3)はちょっと．．．。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年３月４日付け）
代数曲線 k[X，Y]/<27X6 + 54・I・X4 + 36・I・Y3X2 - 27X2 + 4・I・Y6 - 4Y3> (kは複素数体)
の双対曲線を導出過程も明記し求めて下さい。（おそらく世界初の問題です！）
k[X，Y]/<f*[X，Y]> f*[X，Y]=________________________.(この方は、グラフ化可）
f*[X，Y]=0 を満たすガウス整数解は？
「Catalan's Conjecture」の(3)を凝視し、世紀の予想
非自明解は、(78+78i)2-(-23i)3=i だけかも知れない
の真偽を、「PARI/GP」等を駆使し、歴史に残る仕事を為して下さい。
Ｈ．Nakao さんからのコメントです。（令和４年１１月２４日付け）
[補題1] c を定数とするとき、楕円曲線 E_{c}: y^2=x^3+c の2倍点と加法は、
2*[x,y]=[9/(4*y^2)*x^4 - 2*x, -27/(8*y^3)*x^6 + 9/(2*y)*x^3 - y]
[x1,y1]+[x2,y2]
=[(-x1^3 + x2*x1^2 + x2^2*x1 + (y1^2 - 2*y2*y1 + (-x2^3 + y2^2)))/(x1^2 - 2*x2*x1 + x2^2),
((-y1 + 2*y2)*x1^3 - 3*y2*x2*x1^2 + 3*x2^2*y1*x1 + (y1^3 - 3*y2*y1^2 + (-2*x2^3 + 3*y2^2)*y1
+ (y2*x2^3 - y2^3)))/(-x1^3 + 3*x2*x1^2 - 3*x2^2*x1 + x2^3)]
となる。(証明は容易)
[議論]
I=√(-1)とするとき、不定方程式 Z^2-W^3=I のGauss整数解[W,Z]を求めることは、
K=Q(√(-1))上の楕円曲線
E_{√(-1)}/K:? y^2=x^3+I
のK-整点[x,y]を求めることと同値である。
そのためには、E_{√(-1)}/KのK-有理点を求めることが必要である。
I=-I^3より、 x^3+I=x^3-I^3=(x-I)*(x^2+I*x+I^2)=(X-I)*(x^2+I*x-1) とK上で因数分解でき
るので、
T=[I,0]
は、E_{√(-1)}/Kの位数2のねじれ点である。つまり、2*T=Oである。
E_{√(-1)}/KのK-整点をしらみつぶしに探すと、
T=[I,0]
P=[-I,I+1]
Q=[-23*I,78+78*I]
が見つかるが、
2*P=[7/8*I, 13/32 + 13/32*I]
2*P+T=[-23*I,78+78*I]=Q
より、2*PはK-整点ではないので、Pは無限位数のK-有理点であることが分かる。
証明(虚2次体上の楕円曲線の有理点群の議論が必要)はまだできていないが、
E_{√(-1)}/Kのねじれ点群は、Z/2Z。
E_{√(-1)}/Kのrankは1以上(おそらく1)。
E_{√(-1)}/KのK-整点は、おそらくT,±P,±Qのみ。
であると、★予想★できる。
ちなみに、
P+T=[-1/2*I, -3/4 - 3/4*I]
3*P=[-17/225*I, -2387/3375 - 2387/3375*I]
4*P=[-31073/5408*I, -5491823/562432 - 5491823/562432*I]
3*P+T=[-433/242*I, 9765/5324 + 9765/5324*I]
4*P+T=[20257/36481*I, 4485468/6967871 + 4485468/6967871*I]
である。
以上をまとめると、以下のようになる。
[事実]
・不定方程式 Z^2-W^3=I のQ(√(-1))-有理数解[W.Z]は、
[I,0],±[-I,I+1],±[-23*I,78+78*I],
±[-1/2*I, -3/4 - 3/4*I],
±[-17/225*I, -2387/3375 - 2387/3375*I],
±[-31073/5408*I, -5491823/562432 - 5491823/562432*I],
±[-433/242*I, 9765/5324 + 9765/5324*I],
±[20257/36481*I, 4485468/6967871 + 4485468/6967871*I],
....
のように無数に存在する。ただし、I=√(-1)。
[★予想★]
・不定方程式 Z^2-W^3=I のGauss整数解[W.Z]は、
[I,0],[-I,±(I+1)],[-23*I,±(78+78*I)] のみ。ただし、I=√(-1)。
Ｈ．Nakao さんからのコメントです。（令和４年１１月２５日付け）
■不定方程式 Z^2-W^3=-I の解 (ただし、I=√(-1))
複素数zの共役(複素数)をz~とし、共役写像をσ:C→C ;? z|→z~とする。
[W,Z]を
Z^2-W^3=I ・・・ (*1)
のGauss整数解とする。
(*1)の両辺をσで写すと、
(Z~)^2-(W~)^3=-I
となるので、[W~,Z~]は、
Z^2-W^3=-I ・・・ (*2)
のGauss整数解である。
このように、σは(*1)の解を(*2)の解に写す。
σの逆写像もσであるので、σは(*2)の解を(*1)の解に写す。
つまり、(*2)の解は、(*1)の解を共役写像σで写すことで全て得られる。
以下、工事中！