質問に対する回答（１２） 
平成２０年２月２１日 高校３年の受験生の方からメールをいただいた。
次の問題に悩んでいるという。
問 題 ａｘ ＝ ｌｏｇａｘ の実数解の個数を求めよ。
悩める受験生を励ますために解いてみた。
（解） 底の条件から、 ａ＞０ （ただし、ａ≠１）である。
２つの場合に分けて考えることにする。
（１） ａ＞１ のとき、 ｙ ＝ ａｘ は下に凸、 ｙ ＝ ｌｏｇａｘ は上に凸の関数で、ともに増加
関数であり、しかも、直線 ｙ ＝ ｘ に関して対称である。このとき、２曲線の交点は必ず
直線 ｙ＝ｘ の上にあるので、
ａｘ ＝ ｌｏｇａｘ の実数解の個数 と ａｘ ＝ ｘ の実数解の個数 は等しい
と言える。
よって、ａｘ ＝ ｘ の両辺の対数をとって、 ｘ・ｌｏｇ ａ ＝ ｌｏｇ ｘ から
したがって、左辺のグラフと右辺のグラフの交点の数を調べればよい。
 |
の導関数は、 |  |
ｙ’＝０ を解いて、 ｘ＝ｅ となる。
０＜ｘ＜ｅ で、ｙ は単調に増加し、ｘ＞ｅ で単調に減少する。
さらに、
よって、
のグラフは下図となる。
このグラフと、ｘ 軸に平行な直線 ｙ ＝ ｌｏｇ ａ （＞０） との交点の数を調べる。
上図より、
０＜ｌｏｇ ａ ＜１/ｅ すなわち、１＜ａ＜
のとき、 交点は、２個
ｌｏｇ ａ ＝ １/ｅ すなわち、 ａ＝ のとき、 交点は、１個
ｌｏｇ ａ ＞ １/ｅ すなわち、 ａ＞ のとき、 交点は、０個
（２） ０＜ａ＜１ のとき、 ｙ ＝ ａｘ と ｙ ＝ ｌｏｇａｘ はともに下に凸の関数で、ともに減少
関数であり、しかも、直線 ｙ ＝ ｘ に関して対称である。このとき、２曲線の交点は必ずし
も直線 ｙ＝ｘ の上だけにあるとは限らない。
例えば、ａ＝０．０２ のときは下図のようになり、交点は ３個ある。（微妙ですね！）
ｙ ＝ ａｘ のグラフと直線 ｙ＝ｘ は必ず １点で交わるので、ｙ ＝ ａｘ と ｙ ＝ ｌｏｇａｘ の交
点は少なくとも １個はあることになり、さらに、グラフの特徴から、交点の数は、１個または３
個である。
いま、２つの曲線の交点で、直線 ｙ＝ｘ 上にない点（ α ， ａα ）が存在するための ａ の条
件を求めたい。この条件を満たすとき、２つの曲線の位置関係は下図となる。
直線 ｙ＝ｘ 上の点（ ｍ ， ｍ ）において、２つの曲線は交わるものとする。このとき、条件
を満たすためには、点（ ｍ ， ｍ ）における２つの曲線の接線の傾きについて、
が成り立てばよい。このとき、 ａｍ＝ｍ 、 ｌｏｇ ａ＜０ であることに注意して、
ｍ・ｌｏｇａ＜－１ すなわち、 ｌｏｇ ｍ＜－１
このとき、 ０＜ｍ＜１/ｅ となる。
ここで、 ａｍ＝ｍ より、 ｍ・ｌｏｇ ａ＝ｌｏｇ ｍ であり、
から、関数
のグラフを活用して、 ｌｏｇ ａ＜－ｅ となる。このとき、 ０＜ａ＜ｅ－ｅ が成り立つ。
よって、
０＜ ａ ＜ｅ－ｅ のとき、 交点は、３個
ｅ－ｅ≦ ａ ＜１ のとき、 交点は、１個
以上から、求める実数解の個数は、
０＜ ａ ＜ｅ－ｅ のとき、３個
ｅ－ｅ≦ ａ ＜１ のとき、１個
１＜ａ＜ のとき、２個
ａ＝ のとき、１個
ａ＞ のとき、０個
となる。
（コメント） この問題は、数学Ⅲらしい問題ですね！でも、完全解答を書くのは、現役の高
校生にとっては難しそうな．．．予感。
平成２０年６月２９日付けで、ＨＮ「だるまにおん」さんから解答の不備のご指摘を頂き、修
正させていただきました。（上記は修正済み）。また、当ＨＰがいつもお世話になっている、ら
すかるさんからもご教示いただきました。だるまにおんさん、らすかるさんに感謝いたします。