質問に対する回答（１０）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　戻る

　平成１７年６月３０日　けい さんという中学生の方から当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に
数学の質問の書き込みをいただいた。

問題　　正三角形ＡＢＣがあり、ＡＣに関して線対称に正三角形ＡＣＤを作る。このとき、
　　　　四角形ＡＢＣＤはひし形となる。そのひし形の外部に、ＢＣ＝ＢＦとなるような平行
　　　　四辺形ＢＥＦＣを作る。ただし、∠ＢＥＤ＝３０°とする。
　　　　　このとき、ひし形ＡＢＣＤと平行四辺形ＢＥＦＣの面積比を求めよ。

　けい さんによれば、「中学生用の問題ですが，小学生でも解ける！」とのことである。

　問題となる図形を描画すると下記のようになる。

　

　∠ＢＥＤ＝３０°から、線分ＢＤと線分ＢＥは平行ではない。よって、３点Ｂ、Ｄ、Ｅ を通る円
がただ一つ存在する。その円の中心Ｏは、線分ＢＤ、ＢＥの垂直２等分線の交点として得ら
れる。

　上で述べたことは、点Ｅが作図できたときに持つ性質であるが、ひし形ＡＢＣＤから次のよ
うにして点Ｆ、ひいては点Ｅを作図することが出来る。

　ＢＤを一辺とする正三角形ＤＢＯを点Ａの反対側に作る。線分ＣＢのＢ方向の延長上に、
ＢＣ＝ＢＧとなる点Ｇをとり、ＧとＯを結ぶ。この線分ＧＯと、点Ｂを中心とし半径ＢＣの円弧
との交点をＦとする。このとき、四角形ＦＢＧＥがひし形になるように点Ｅを定めることができ
る。このとき、点Ｅは、円Ｏの周上にあり、明らかに点Ｅ、Ｆは、問題の条件を満たす。

　この問題に対して、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが、座標幾何
を用いた解法を示してくれた。（平成１７年７月２日付け）

　ＡＢ＝２ とし、Ｂを原点とする ｘｙ座標平面を考えると、

　円 Ｂ の方程式は、ｘ2＋ｙ2＝４

　円 Ｏ の方程式は、(ｘ−３)2＋(ｙ＋)2＝１２

よって、ＥＦ＝２　なので、

　　の両辺を平方して整理すると、

これを、さらに平方して解を求めると、

　

　ここで、前者は、Ｂ、Ｃ の ｙ 座標、後者は、Ｅ、Ｆ の ｙ 座標なので、ひし形と平行四辺形の

高さの比は、　　：　(５/７)　＝　７　：　５　となる。

ここで、ひし形と平行四辺形は辺ＢＣを共有しているので、面積比は高さの比に等しい。

　よって、ひし形と平行四辺形の面積比は、　７　：　５　となる。

（コメント）　当初私も座標幾何を用いて、強引に計算した。因みに私の用いた方程式は、

　円Ｏの方程式を、ｘ2＋ｙ2＝１２　、円Ｂの方程式を、(ｘ＋３)2＋(ｙ−)2＝４　とした。

　これにより、らすかるさんと同様の結果（ｙ＝、(２/７)）を得ることが出来る。

　この解法は、無理方程式や円の方程式を用いているので、高校３年生レベルの解答とい
える。

　らすかるさんは、さらに、座標幾何を用いない解法（一部修正）も示してくれた。

　　　正三角形ＢＯＤを作ると、Ｅは円
　　Ｏ の周上にある。また、△ＦＢＥは
　　二等辺三角形なので、直線ＯＦは
　　ＢＥの中点Ｈを通る垂線である。

　　　半径ＡＢの円Ｂにおいて、
　　∠ＣＦＨ＝９０°なので、直線ＯＨと
　　直線ＣＢの交点をＧとすると、
　　ＢＣ＝ＢＧ　である。

　　　また、直線ＧＣと直線ODの交点 Ｉ
　　は線分ＯＤの中点で、ＧＩ ⊥ OD　。

　　　中点連結の定理から、ＣＯ＝ＡＣ
　　なので、△ＯＣＧ＝△ＡＧＣ　となる。
　　　
　また、　△OＩC＝（１/２）△ＡＢＣ＝（１/４）△ＡＧＣ　なので、
　△OＩＧ＝△ＯＩＣ＋△ＯＣＧ＝（５/４）△ＡＧＣ　となる。
ここで、ＡＢ＝２　とすると、ＧＩ＝５、ＯＩ＝　なので、三平方の定理により、　ＯＧ＝
　このとき、　△ＣＦＧ∽△ＯＩＧ　より、　ＣＧ ： ＯＧ＝４ ：
面積比は相似比の２乗に等しいので、 △ＣＦＧ＝（４/７）△OＩＧ
　上記より、△OＩＧ＝（５/４）△ＡＧＣ　なので、
　　　△ＣＦＧ＝（４/７）（５/４）△ＡＧＣ＝（５/７）△ＡＧＣ　となる。
ここで、　△ＨＥＦ≡△ＨＢＧ より、
　　　　　　△ＣＦＧ＝(平行四辺形ＢＥＦＣの面積)
　また、　 △AＧC＝２△ＡＢＣ＝(ひし形ＡＢＣＤの面積)　
であることから、
　　　　(平行四辺形ＢＥＦＣの面積)＝（５/７）(ひし形ＡＢＣＤの面積)　であるといえる。
　よって、
　　　　　　(ひし形ＡＢＣＤの面積) ： (平行四辺形ＢＥＦＣの面積) ＝ ７ ： ５

　らすかるさんは、「 あとは√が出てこないようにすれば小学生レベルに近づきますが、
円周角の定理は小学生レベルではないような・・・」という感想を述べられています。


（コメント）　「面積比は相似比の２乗に等しい」という事実や円周角の定理を用いているこ
　　　　　　とから、上記の解法は、高校１年生レベルの解答といえる。

　らすかるさんは、面積を実際に求めて、その比を計算しているが、３類生さんのアイデア
（もちろん、らすかるさんの座標幾何における計算でも用いられたが）「底辺が共通の時は
面積比は高さの比に等しい」を用いると、もう少し解答が整理できそうである。

(解）　ＡＢ＝２　とすると、　ＢＧ＝２、ＧＩ＝５、ＯＩ＝　である。よって、ＯＧ＝

　△ＢＧＨ∽△ＯＧＩ　なので、　ＢＧ ： ＢＨ ＝ ＯＧ ： ＯＩ

よって、　２ ： ＢＨ ＝ ： 　より、　ＢＨ＝２/

同様にして、　ＢＧ ： ＧＨ ＝ ＯＧ ： ＧＩ　より、　２ ： ＧＨ ＝ ： ５

よって、　ＧＨ＝１０/　となる。　このとき、　ＦＧ＝２ＧＨ＝２０/

　また、　△ＢＧＨ∽△ＦＧＪ　なので、　ＢＧ ： ＦＧ ＝ ＢＨ ： ＦＪ

よって、　２ ： ２０/ ＝ ２/ ： ＦＪ　より、　ＦＪ＝５/７

　ＩＤ＝　なので、　ＩＤ ： ＦＪ ＝ ： ５/７ ＝ ７ ： ５

したがって、

　(ひし形ＡＢＣＤの面積) ： (平行四辺形ＢＥＦＣの面積) ＝ ＩＤ ： ＦＪ ＝ ７ ： ５　　（終）


（コメント）　この解法は、三平方の定理と図形の相似を用いているので、中学３年生レベル
　　　　　　の解答といえる。

　果たして、この問題に対して小学生レベルの解法は存在するのだろうか？これについて
は今後の研究としよう。もし、そのような解法を発見された方、こちらまでメールにてお教え
下さい。