１．２項分布
確率変数Ｘの確率分布が２項分布であるとは、Ｘが次のような分布に従うときを言う。
Ｘの取り得る値 ０、１、２、・・・、ｎ に対して、Ｘ＝ｋ に対する確率が
Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ｎＣｋｐｋ（１−ｐ）ｎ-ｋ （０＜ｐ＜１）
このとき、Ｘは２項分布Ｂ（ｎ，ｐ）に従うと言う。
（注意） 定義から分かるように、反復試行の確率分布は、２項分布である。
また、 Σｋ=0〜ｎ ｎＣｋｐｋ（１−ｐ）ｎ-ｋ＝（ｐ＋１−ｐ）＝１ である。
（問） １枚の硬貨を３回続けて投げるとき、表の出る回数をＸとする。Ｘの確率分布を求め、
Ｅ（Ｘ）、Ｖ（Ｘ）、σ（Ｘ）を求めよ。
２項分布Ｂ（ｎ，ｐ）の期待値、分散については、次の公式が重要である。
Ｅ（Ｘ）＝ｎｐ 、Ｖ（Ｘ）＝ｎｐｑ （ただし、ｑ＝１−ｐ）
（問） 上の公式の証明を与えよ。
（Hint） （ｐｘ＋ｑ）ｎ＝Σｋ=0〜ｎ ｎＣｋｐｋｑｎ-ｋ・ｘｋ の両辺をｘについて微分せよ。
（問） １個のさいころを７２０回振るとき、１の目の出る回数をＸとする。Ｘの期待値、分散、
標準偏差を求めよ。
２．正規分布
２項分布のように、確率変数Ｘの値が飛び飛びの値をとり、それらに対応する確率の値が
階段関数になるとき、Ｘを離散的な確率変数という。これに対して、確率変数Ｘの値が連続
的な値をとる場合がある。
確率変数Ｘの取り得る値が区間[α，β]で、確率Ｐ（ａ≦Ｘ≦ｂ）が、
Ｐ（ａ≦Ｘ≦ｂ）＝∫ａｂＦ（ｘ）ｄｘ ただし、Ｆ（ｘ）≧０ で、∫αβＦ（ｘ）ｄｘ＝１
で与えられるとき、Ｘのことを連続的な確率変数といい、Ｆ（ｘ）のことを確率密度関数という。
（問） Ｘが連続的な確率変数で、その確率密度関数Ｆ（ｘ）が、Ｆ（ｘ）＝ｋｘ （０≦ｘ≦２） と与
えられているとき、次の問いに答えよ。
（１） ｋの値を求めよ。 （２） Ｐ（１≦Ｘ≦３/２）を求めよ。
連続的な確率変数Ｘが正規分布とは、確率密度関数Ｆ（ｘ）が、
で与えられるときをいう。このとき、Ｘは正規分布Ｎ（ｍ，σ2）に従うという。
連続的な確率変数Ｘに対して、
ｍ＝Ｅ（Ｘ）＝∫αβｘ・Ｆ（ｘ）ｄｘ 、 Ｖ（Ｘ）＝∫αβ（ｘ−ｍ）2・Ｆ（ｘ）ｄｘ
と定義する。
（問） [０，６]で定義された連続的な確率変数Ｘがある。Ｘの確率密度関数を、Ｆ（ｘ）＝ａｘ
とするとき、平均、分散、標準偏差を求めよ。
３，標準正規分布とその応用
正規分布の確率密度関数Ｆ（ｘ）について、次の事柄が成り立つ。
（１） ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフ（正規分布曲線） ・・・ ｘ＝ｍに関して線対称
（２） ∫-∞∞Ｆ（ｘ）ｄｘ＝１ （面積が１） （→ 参考：「無限の拡がりを持つ面積１の図形」）
（３） Ｅ（Ｘ）＝ｍ 、 Ｖ（Ｘ）＝σ2 、σ（Ｘ）＝σ
（４） Ｐ（ｍ−σ≦Ｘ≦ｍ＋σ）＝０．６８３ 、Ｐ（ｍ−２σ≦Ｘ≦ｍ＋２σ）＝０．９５４
Ｐ（ｍ−３σ≦Ｘ≦ｍ＋３σ）＝０．９９７
平均が０、分散が１の正規分布を標準正規分布Ｎ（０，１）という。
通常、Ｐ（ｕ）＝Ｐ（０≦Ｘ≦ｕ） と表す。
（問） 正規分布表を用いて、Ｐ（１．２）、Ｐ（２．３）の値を求めよ。
（問） 次の確率を求めよ。
（１） Ｐ（１≦Ｘ≦２．５） （１） Ｐ（−１≦Ｘ≦２） （１） Ｐ（Ｘ≧１）
正規分布Ｎ（ｍ，σ2）は、標準化 （Ｘ−ｍ）/σ＝Ｚ を施せば、標準正規分布Ｎ（０，１）に
なる。
（問） ＸがＮ（２，２５）に従うとき、Ｐ（２≦Ｘ≦４）を求めよ。
（問） ＸがＮ（４，９）に従うとき、Ｐ（７≦Ｘ≦１０）を求めよ。
正規分布の応用を考えてみよう。
（問） ある高校の３年生３００人について、２００点満点の実力テストを行った結果、平均点
は、１６９．４点、標準偏差５点の正規分布にだいたい従う分布が得られた。このとき、
次の問いに答えよ。
（１） １７０点〜１８０点の生徒は何人いるか。
（２） １６０点とった生徒は、何番位か。
（３） 上位５０名の中に入るには、何点以上あればよいか。
（問） センター試験地理の受験者は１０万人で、平均点が４８点、標準偏差が１４点の正規
分布になるという大学入試センターの発表があった。次のものを求めよ。
（１） ９０点とった人は、何番位か。
（２） 上位１万名中に入るためには、何点以上あればよいか。
（追記） 令和４年７月２９日付け
当ＨＰ読者のＨＮ「0hyose」さんよりご投稿いただいた。（令和４年７月２７日付け）
テストを受けた全体の人数が500人で、400位以下が補習です。何点以下が補習でしょう
か？ただし、正規分布に従い、標準偏差9点、平均48点とする。
ちなみに、先生は、400÷500=0．8→0．2(20%) ここで急に -0．84 が出てきて、
48＋9×(-0．84)=40．44 としていました。
どのように -0．84 を出すのですか？よろしくお願いします。
（コメント） ４００÷５００＝０．８ なので、 Ｐ（α≦Ｘ）≒０．８ すなわち、 Ｐ（Ｘ≦α）≒０．２
となる近似値を標準正規分布表で探すと、標準偏差をσとして、
Ｐ（Ｘ≦α）＝Ｐ（0．84σ）＝0．200454 である。
すなわち、平均から 0．84σ だけ小さいところが、400位（下位20％）の点数となる。
よって、400位の点数は、48-0．84*9＝40．44（点） となる。
以上から、点数に端数はないと思われるので、40点以下が補習対象となる。
４．ラプラスの中心極限定理
確率変数Ｘが２項分布Ｂ（ｎ，ｐ）に従うとする。ｎ が十分大きいとき、Ｘは正規分布
Ｎ（ｎｐ，ｎｐｑ）に従うものと見なせる。（中心極限定理・・・２項分布の正規近似）
（注意） 経験によれば、
ｐ≦１/２ のとき、 ｎ＞５/ｐ ｐ≧１/２ のとき、 ｎ＞５/（１−ｐ）
であるような ｎ であれば、正規近似は実用上十分であることが分かっている。
Ｘは離散的な変数だから、Ｘは飛び飛びの値しかとらない。ところで、２項分布を正規分布
と見なすということは、Ｘを連続的な変数と見なすことである。
よって、Ｐ（ａ≦Ｘ≦ｂ）を計算するとき、四捨五入して「ａ≦Ｘ≦ｂ」となると考えて（←大切）、
ａ−０．５≦Ｘ＜ｂ＋０．５ の確率を計算しなければならない。このような計算を半整数補正
という。
（問） さいころを７２０回投げて、１の目が出る回数をＸとする。Ｘが１００以下の値をとる確
率を求めよ。
（問） さいころを７２０回投げたとき、１の目が１２０回以上または８０回以下出る確率を求
めよ。
（問） 数学の問題を５題中４題は解けると言われているＳ君が１００題の問題を解くことに
なった。次の問いに答えよ。
（１） ９０題以上を解くことができる確率を求めよ。
（２） ８０％以上の確率で解くことが出来る問題数の最大値を求めよ。