第１章 資料の整理 
１．資料の整理 あるクラス（５０人）の実力テストで次のような得点結果となった。
60、63、42、7、39、40、92、41、45、88、55、30、22、85、82、50、40、51、75、58、33、42、
21、95、62、55、62、42、50、30、78、41、72、60、11、24、35、25、73、46、93、34、67、75、
13、0、55、47、99、46
上の点数の羅列では、個々の生徒の得点状況は分かるが、集団としてどのような特徴が
あるのか分かりづらい。そこで、上のデータを種々の表にまとめることを考える。
（１） 度数分布表 階級は１０個位が適当である。
|
まず、上のデータから度数計算をし て度数を記入する。 度数計算には、「正」の字を利用す るなど、いろいろな記号が用いられる。 （→ 参考：「記号の歴史」） 正解は、上から順に 2、2、4、6、11、7、6、5、3、4 |
|
階級値は階級の中央値のことである。 例えば、「 ０〜 ９」の階級値は「４．５」 であるが、０以上１０未満と考えて階級 値を「５」とする場合がある。 左のような表を度数分布表という。 生徒の得点状況がどのような特徴を 持つか、大まかな把握ができる。 |
（２） ヒストグラムと度数分布多角形（度数折れ線）
度数分布表を柱状グラフにしたものがヒストグラムである。度数分布多角形は、各柱の上
辺の各中点を折れ線で結んだものである。
（３） 累積度数分布表と累積度数のヒストグラム
|
（４） 相対分布表と相対度数分布曲線
|
２．資料の代表値
（１） 平均値 ｘ1、ｘ2、・・・、ｘＮ の平均値は、 
＝（Σｋ=1〜Ｎ ｘｋ）/Ｎ で求められる。
一般に、ｘｋ が ｆｋ 個（１≦ｋ≦ｎ）あるとき、 Ｎ＝Σｋ=1〜ｎ ｆｋ とすると、
＝（Σｋ=1〜ｎ ｆｋ・ｘｋ）/Ｎ
（問） 第１章 １．資料の整理で与えられたデータの平均値を、階級値を用いて求めよ。
≪平均値計算の簡便法≫ 適当な値 ｃ と仮平均 ｘ0 を用いた変換 ｕ＝（ｘ−ｘ0）/ｃ
に対して、
＝ｘ0＋ｃ・
|
（問） 次の度数分布表において、平均値を求めよ。
|
（２） 中央値 資料を大きさの順に並べたとき、その中央の値のこと。メジアンともいう。
中央の値がないときは、隣り合う２つの値の平均で示す。資料が度数分布表
で与えられたときは、中央値の属する階級値で示す。
（問） 第１章 １．資料の整理で与えられたデータの中央値を求めよ。
（３） 最頻値 度数が最も大きい階級の階級値のこと。モードともいう。
（問） 第１章 １．資料の整理で与えられたデータの最頻値を求めよ。
（問） データ ５、４、７、９、６、８、７、４、７、５ について、平均、メジアン、モードを求めよ。
３．資料の散らばり 中学校では、範囲（レンジ）というものを学習した。
（問） データ ５、３、７、２、８、５、３ について、レンジを求めよ。
ｘ1、ｘ2、・・・、ｘＮ の平均 に対して、ｘｋ− を偏差という。このとき、
σ2＝（Σｋ=1〜Ｎ （ｘｋ−）2）/Ｎ を分散という。また、σを標準偏差という。
（問） データ ３、２、１、６、５、７ の分散と標準偏差を求めよ。
≪重要公式≫ σ2＝（ｘ2 の平均）−（ｘ の平均）2
（問） この公式を用いて、上の（問）を求めて見よ。
（問） 公式を証明せよ。
|
一般に、ｘｋ が ｆｋ 個（１≦ｋ≦ｎ）あるとき、分散は次の式で計算できる。
σ2＝（Σｋ=1〜ｎ ｆｋ・（ｘｋ−）2）/Ｎ
ただし、 Ｎ＝Σｋ=1〜ｎ ｆｋ 、＝（Σｋ=1〜ｎ ｆｋ・ｘｋ）/Ｎ
また、変換 （ｘ−ｘ0）/ｃ＝ｕ について、ｘ の標準偏差σｘと ｕ の標準
偏差σｕとの関係は、
σｘ＝｜ｃ｜・σｕ
（問） 上の公式を証明せよ。
（問） 第１章 １．資料の整理で与えられたデータの分散と標準偏差を求めよ。